 |
Одновременность. Скорости объектов и скорость света. Время‑перевертыш
|
|
|
|
Одновременность
Временна я разница между двумя событиями равна t 2 − t 1 = Δ t. В другой системе отсчета эти события происходят в моменты времени T 2 и T 1, а временно й интервал в этой системе отсчета составит T 2 − T 1 = Δ T. Мы также обозначим разницу координат двух событий (то есть расстояние между ними) в системе Джона Δ x, а расстояние между ними в системе Мэри Δ X. Воспользовавшись первым преобразованием Лоренца для времени, получим:
T 2 = γ (t 2 − x 2v /c ² );
T 1 = γ (t 1 − x 1v /c ² ).
Вычитаем одно уравнение из другого и подставляем Δ t, Δ T и Δ x:
Δ T = γ (Δ t − Δ xv /c ² ).
В особом случае, когда в системе Джона оба события происходят одновременно (то есть когда Δ t = 0), уравнение упрощается до вида:
Δ T = − γ Δ xv /c ².
Замечательность результата в том, что Δ T – необязательно нуль. Это значит, что в собственной СО Мэри эти события необязательно одновременны, хотя в собственной СО Джона они происходят в один и тот же момент времени. Если я обозначу расстояние между двумя событиями Δ x = − D (знак здесь может быть как плюс, так и минус, в зависимости от расположения x 1 и x 2), уравнение примет вид:
Δ T = γ Dv /c ².
Если ни v, ни D не равны нулю, Δ T тоже не равно нулю, и это означает, что два события не одновременны в системе Мэри. Это «временно й скачок», который возникает у отдаленного события при переключении с одной системы отсчета на другую. Скачка не возникает, если D = 0, то есть если два события происходят в одной точке (скажем, если Джон и Мэри вновь соединятся). Δ T может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знаков D и v.
|
|
|
Скорости объектов и скорость света
Здесь я покажу, почему скорость света одинакова во всех системах отсчета.
Если некоторый объект движется, мы можем обозначить как x 1 его координату в момент времени t 1 и как x 2 – его координату в момент t 2. Представьте, что на самом деле это два события. Скорость нашего объекта такова: v = (x 2 − x 1)/(t 2 − t 1) = Δ x /Δ t. В другой системе отсчета: V = (X 2 − X 1)/(T 2 − T 1) = Δ X /Δ T. Мы можем воспользоваться преобразованием Лоренца, чтобы сравнить эти две величины. Обозначим буквой u относительную скорость двух СО, чтобы можно было использовать v и V для обозначения скорости объекта в каждой из двух систем. Запишем преобразование для двух событий и вычтем одно из другого:
Δ X = X 2 − X 1 = γ [(x 2 − x 1) − u (t 2 − t 1)] = γ [Δ x − u Δ t ];
Δ T = T 2 − T 1 = γ [(t 2 − t 1) − u (x 2 − x 1)/c ² ] = γ [Δ t − u Δ x /c ² ].
А теперь разделим одно уравнение на другое, чтобы исключить γ:
Это уравнение для преобразования скорости, позволяющее выразить скорость V во второй системе отсчета через v – скорость в первой системе отсчета.
Пусть v = c, то есть объект (к примеру, фотон) движется со скоростью света в первой СО. Во второй системе отсчета его скорость равна:
вне зависимости от u, относительной взаимной скорости двух систем отсчета. Если v = c, то V = c. Объекты, движущиеся со скоростью света в какой‑ то одной системе отсчета, движутся с той же скоростью и во всех остальных системах. Попробуйте подставить в уравнение v = − c и посмотрите, что получится. Удивлены?
Аналогичный вывод показывает, что c не меняется даже при произвольном направлении света[277].
Этот результат объясняет неудачу опыта Майкельсона− Морли в 1887 году, когда исследователи хотели обнаружить разницу скорости света в двух направлениях, первое из которых параллельно движению Земли, а второе – перпендикулярно этому движению.
|
|
|
Время‑ перевертыш
Очень интересные вещи происходят, если два разделенных события близки по времени. Воспользуемся еще одним уравнением (взятым из приведенных выше рассуждений об одновременности):
Δ T = γ (Δ t − v Δ x /c ² ) = γ Δ t [1 − (Δ x /Δ t )(v /c ² )].
Определим ∆ x /∆ t = V E. Это псевдоскорость, которая «соединяет» два события. Записанное нами вовсе не означает, что чему‑ то действительно придется двигаться от одного события к другому; это просто скорость, с которой нужно было бы двигаться, чтобы присутствовать при обоих событиях. Может ли V E быть больше c? Да, конечно. Любые два разделенных события, которые происходят одновременно, имеют бесконечную V E. Это не физическая скорость. Используя эту новую величину, мы можем записать:
Δ T = γ Δ t (1 − V Ev /c ² ).
Будем считать для примера, что разность ∆ t положительна. Уравнение показывает, что ∆ T, в принципе, может быть и отрицательной. Для этого нужно всего лишь, чтобы отрицательное слагаемое в скобках было по модулю больше 1. Это означает, что в новой системе порядок событий может смениться на обратный. Такой результат может повлечь за собой самые разные следствия для причинной зависимости.
Чтобы V Ev /c ² было больше единицы, V E/c должно быть больше, чем c /v. Не забывайте, v – это скорость, связывающая две системы отсчета; она в любых обстоятельствах должна быть меньше c. Это означает, что c /v всегда будет больше единицы. Это уравнение говорит, что если V E/c больше, чем c /v (что тоже делает его больше единицы), то порядок событий в двух системах отсчета меняется на обратный. Еще раз обратите внимание, что величина V E ничем не ограничена, поскольку это всего лишь псевдоскорость, призванная «соединить» два события, и что для двух сильно разнесенных в пространстве событий, но происходящих одновременно, величина V E будет бесконечна.
|
|
|
