 |
Приложение 3. Доказательство иррациональности √2. Если I и J четные, можем упростить дробь на общий делитель 2 и повторить это действие столько раз, сколько понадобится, чтобы хотя бы одно из этих чисел стало нечетным
|
|
|
|
Приложение 3
Доказательство иррациональности √ 2
Если предположить, что число √ 2 рационально, это будет означать, что это число можно записать в виде I /J, где I и J – целые числа. А теперь, если удастся свести это утверждение к противоречию, мы докажем, что наше первоначальное предположение ложно.
Если I и J четные, можем упростить дробь на общий делитель 2 и повторить это действие столько раз, сколько понадобится, чтобы хотя бы одно из этих чисел стало нечетным. Это значит, что если √ 2 = I /J, то можно записать также √ 2 = M /N, где по крайней мере одно из чисел M и N или оба нечетные.
M/N = √ 2. Возведем это уравнение в квадрат и умножим на N, получим M ² = 2N ². Поскольку M ² получается умножением на два, это число четное. Значит, M тоже четное, поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный. А теперь я покажу, что N тоже четное.
Поскольку M четное, мы можем записать его как M = 2K, где K – еще одно целое число. Возведя это уравнение в квадрат, получим M ² = 4K ². Чуть ранее мы показали, что M ² = 2N ², поэтому 2N ² = 4K ². Разделив на 2, получим N ² = 2K ². Следовательно, число N ² четное, а значит, и N – тоже четное.
Мы получили противоречие с нашим выводом, что хотя бы одно из чисел M и N должно быть нечетным. Единственной возможной причиной (поскольку в остальном мы строго следовали правилам математики) оказывается то, что наше первоначальное предположение – о том, что √ 2 можно записать как I /J, – неверно. Таким образом, иррациональность √ 2 доказана.
Этот результат так интересен, в частности, потому, что его никак невозможно получить в рамках физики. Никакое измерение не в состоянии продемонстрировать, что число √ 2 иррационально. Это истина, лежащая за пределами физических измерений; она существует только в человеческом сознании. Это нефизическое знание.
|
|
|
Если интересно, можете попробовать доказать аналогичным способом, что иррационально число √ 4. Разумеется, это не так; √ 4 = 2/1. Попробуйте просто применить подход, который мы только что использовали, и посмотреть, где он не сработает.
Приложение 4
Творение
Вначале было лишь ничто –
и не существовало
ни Солнца, ни Земли,
ни космоса, ни времени –
и пустота зияла.
Возникло время – и раздался взрыв:
ничто изверглось, словно лава,
наполнилась огнем живым
вселенская душа –
и сердце мира
в волнении затрепетало.
Стремительно как свет росло пространство,
а огненные бури утихали,
и появилась
материя первейшая.
Необычайно хрупкие песчинки,
из коих состоит Вселенная,
перемешались в беспорядке,
казалось, ожидая мощной силы,
которая бы усмирила их.
Вселенная остыла,
материя начала дробиться.
Она дробилась и дробилась
до предела. Мельчайшие частицы
(электроны, глюоны, кварки)
бросалися друг к другу, но бело‑ голубое пламя, что жгло нещадно,
не позволяло им соединиться.
Пространство расширялось,
|
|
|
а пламя остывало от бела до красна,
и наступила темнота.
И вот остановилось жженье,
частицы сжались и слилися
в атомы:
то были водород и гелий, из которых
все в нашем мире состоит.
Затем под силой притяженья
Те атомы соединились,
Из них возникли облака, и звезды, и галактики,
и их скопленья. И в пустоте впервые
Пространство появилося пустое.
И в звездном облаке
скопилось вещество –
материя
сжималась, нагревалась
и зажглась, и вот он – свет!
И ядра, что сокрыты
внутри таинственной звезды,
вдруг обратились в топливо
и через много лет
наполнили Вселенную всем, веществом –
то были углерод и кислород, железо –
материя жизни,
материя, что зарождалась долго в недрах звезд.
Горело и страдало сердце
таинственной большой звезды. И обессилело вконец,
забилось в судорогах… Но… О чудо! Вспышка –
гравитационная энергия наружу вырвалась и, обрушая жар, воспрянула
и стала ярче тысяч звезд Сверхновая звезда!
Да, ярче, ярче тысяч, мириадов звезд,
светлее, чем галактики.
Крупицы углерода, железа, кислорода
исторглись в космос,
свободу обрели – и обратились в пыль.
То пепел был звезды
и жизни суть.
Что далее?
В галактике с названьем Млечный Путь,
что в сверхскопленье Девы,
|
|
|
пылинки делятся, соединяются, рождая
новую звезду. А рядом
из звездной пыли появляется планета.
И молодое Солнце сжимается и зажигает, согревая своим теплом
младую, девственную Землю.
Приложение 5
Математика неопределенности
Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.
Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье‑ анализа [280] и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.
В Фурье‑ анализе есть одна очень важная теорема. Суть ее такова: если волна состоит из одного короткого импульса, такого, что большая его часть располагается в небольшой области ∆ x (читается «дельта икс»), то для ее описания с помощью синусов и косинусов потребуется много различных длин волн. Длины волн в математике обычно описываются числом k. Это такое число, что k /2π – это число целых волн (полных циклов), которое укладывается в единицу длины. Физики называют k пространственной частотой, или волновым числом (связанное понятие – волновой вектор: вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление перпендикулярно волновому фронту). Волна, целиком заключенная в интервал ∆ x, должна содержать некоторый диапазон пространственных частот ∆ k. Тогда, по теореме Фурье, два этих интервала должны быть связаны следующим образом:
∆ x ∆ k ≥ 1/2.
Это уравнение не имеет никакого отношения к квантовому поведению; оно получено методами интегрального исчисления. Теорема появилась раньше трудов Гейзенберга; Жан Батист Фурье умер в 1830 году. Это всего лишь математика волн: водяных, звуковых, световых, сейсмических, колебаний натянутой веревки и рояльной струны, волн в плазме и в кристалле. И эта математика верна для любых волн.
|
|
|
В квантовой физике импульс волны равен постоянной Планка h, деленной на длину волны (формула де Бройля). Длина волны равна 2π /k. Это означает, что мы можем записать импульс (традиционно обозначаемый буквой p ) как p = (h /2π )k. Взяв разницу между двумя значениями p, получим ∆ p = (h /2π )∆ k. Если умножить уравнение Фурье‑ анализа ∆ x ∆ k ≥ 1/2 на h /2π, получим:
(h /2π )∆ x ∆ k ≥ 1/2(h /2π ).
Далее подставим ∆ p = (h /2π )∆ k и получим:
∆ x ∆ p ≥ h /4π.
(Иногда можно увидеть запись ∆ x ∆ p ≥ ħ /2, где ħ = h /2π – приведенная постоянная Планка, порой называемая постоянной Дирака. )
Это знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга. Вот почему я сказал, что если мы примем предположение, что все частицы движутся как волны, то принцип неопределенности станет просто математическим следствием из этого факта.
В математике эта теорема не считается настоящим принципом неопределенности; скорее, она описывает диапазон пространственных частот, необходимых для получения короткого импульса. Но в квантовой физике диапазон частот превращается в неопределенность импульса, а ширина импульса становится неопределенностью положения частицы в пространстве. Все дело в копенгагенской вероятностной интерпретации волновой функции. Если для волновой функции доступны разные значения импульса (скорости) и пространственных координат, то акт измерения (к примеру, наблюдение за тем, как она отклоняется в магнитном поле) означает выбор одного из возможных значений. Как сказала мать Форреста Гампа о жизни: «[Это] как коробка шоколадных конфет. Никогда не знаешь, что у каждой конфеты внутри».
|
|
|
