 |
Математика парадокса шеста и сарая
|
|
|
|
Математика парадокса шеста и сарая
Обратимся вновь к главе 4. В системе отсчета, связанной с сараем, шест входит концом в дверь и продолжает двигаться, пока не упрется в заднюю стену. Определим t 1 = 0 как момент, когда передний конец шеста доходит до задней стены, и выберем систему координат так, что в этой точке x 1 = 0. Из‑ за лоренцева сжатия в системе отсчета, связанной с сараем, задний конец шеста поравняется с дверью в этот же момент, при t 2 = 0, в точке x 2 = − 6 м.
Теперь рассчитаем, что происходит в системе отсчета, связанной с шестом. Передний конец шеста упрется в заднюю стену сарая в момент T 1 с учетом уравнения преобразования Лоренца:
T 1 = γ (t 1 − x 1v /c ² ) = 2(0 − 0v /c ² ) = 0.
Задний конец шеста поравняется с дверью в момент:
T 2 = γ (t 2 − x 2v /c ² ) = 2(0 + 6v /c ² ).
Вычислив v /c из γ = 2, получаем β = v /c = 0, 866. Таким образом:
T 2 = 2(0 + 5, 196/c ) = 10, 392/c.
Воспользовавшись значением скорости света c = 3·108 метров в секунду (м/с), получим, что шест целиком войдет в сарай за T 2 = 34, 64/109 с = 34, 64 × 10− 9 с. Так что в момент, когда передний конец шеста упрется в стену, задний его конец еще не дойдет до двери. Она поравняется с ней через 34, 64 наносекунды (миллиардной доли секунды).
Вычислим в системе отсчета, связанной с шестом, где будет находиться его задний конец, когда передний упрется в стену. Воспользуемся уравнением:
x 2 = γ (X 2 + vT 2).
Решив его относительно X 2 и подставив v = 0, 866c, x 2 = − 6 метров и T 2 = 10, 392/c, получаем:
X 2 = x 2/γ − vT 2 = − 6/2 − 9 = − 12 (метров).
Этот ответ вполне соответствует нашим ожиданиям. В системе шеста, когда передняя его часть упирается в стену, задняя находится от нее на расстоянии − 12 метров. Эта точка отстоит на 12 метров от задней стены сарая, что соответствует данным, что шест в этой системе отсчета имеет длину 12 метров.
|
|
|
Разрешение парадокса кроется в том, что два конца шеста одновременно находятся внутри сарая в системе отсчета, связанной с сараем, но в системе, связанной с шестом, они, хотя и попадают оба внутрь сарая, но делают это не одновременно: задний конец шеста проходит в дверь чуть позже, чем передний упирается в стену. Когда шест оказывается внутри, если его движение внезапно прекращается (оба конца шеста в системе сарая останавливаются одновременно), он потеряет свое линейное сжатие и внезапно удлинится до полной 12‑ метровой длины, проломив при этом какую‑ то из стен сарая или обе.
Математика парадокса близнецов
Поскольку для Мэри замедление времени составляет γ = 2, мы можем рассчитать, что отношение ее скорости к скорости света равно β = 0, 866. В этом примере парадокса близнецов есть несколько важных систем отсчета: СО Джона (мы будем называть ее системой Земли ), удаляющаяся система отсчета Мэри (собственная СО Мэри на пути туда, движущаяся со скоростью v = 0, 866c ) и приближающаяся система отсчета Мэри (ее собственная СО на обратном пути, движущаяся со скоростью v = − 0, 866c ). Наконец, собственная система отсчета Мэри представляет собой комбинацию двух перечисленных, поскольку она какое‑ то время движется с ускорением и переходит из одной лоренцевой системы в другую[278].
В системе Земли мы можем вычислить расстояние до интересующей нас звезды из того факта, что Мэри летит к ней со скоростью, равной 0, 866 скорости света, и весь путь занимает 8 лет; это расстояние равно 0, 866 × c × 8 = 6, 92c, или 6, 92 световых года. В собственных системах отсчета Мэри при удалении от Земли и возвращении к ней расстояние составляет 6, 92c, деленное на коэффициент лоренцева сжатия γ, то есть 3, 46c. В системе Мэри время, которое занимает у нее путь к звезде, равно расстоянию 3, 46c, деленному на скорость 0, 866c, и равно 4 годам. Так что и в системе Земли, и в удаляющейся системе Мэри, когда она долетит до звезды, будет 4 года. Точно так же на обратном пути она подрастет еще на четыре года, и по возвращении ей будет 8 лет.
|
|
|
Джон в системе Земли покоится. В этой системе путешествие Мэри занимает 8 лет в одну сторону. Когда Мэри вернется, Джон будет старше нее, ему исполнится 16 лет.
А теперь рассмотрим те же события в системе отсчета, связанной с Мэри. Эта система движется с ускорением, поэтому мы будем проводить вычисления в три этапа. Сначала воспользуемся ее удаляющейся системой, которая движется со скоростью +v относительно систем Земли. Затем она на какое‑ то время остановится у далекой планеты; ее собственная система станет идентична системе Джона; наконец, она отправится в обратный путь, разгонится, и ее собственная система будет двигаться со скоростью − v относительно системы Земли.
На первом этапе, от Земли до звезды, Мэри в своей собственной системе покоится. Джон движется со скоростью − v и взрослеет со скоростью 1/γ лет. Мэри летит до звезды 4 года (конечно, в этой системе именно звезда движется к ней; сама она покоится). За это время Джон взрослеет всего на 4/γ = 2 года.
Затем Мэри останавливается у звезды (вероятно, на какой‑ то близлежащей планете, не на самой звезде). Теперь ее собственная система отсчета идентична системе Земли, так что, хотя ей 4 года, Джону (в этой системе) одновременно уже 8 лет. Это первый временно й скачок. Дело не в том, что Джон мгновенно взрослеет; дело в том, что Мэри сменила одну лоренцеву систему отсчета на другую, и в новой ее собственной системе события, которые были одновременными в старой, больше не одновременны. Мэри знает, что в удаляющейся системе отсчета (в которой она больше не покоится), Джон по‑ прежнему младше нее. Но в системе планеты, идентичной земной системе, Джон старше. И Джон, и Мэри согласились бы с этими рассуждениями.
Обратите внимание: «скачок» в одновременном возрасте Джона составил 6 лет (с 2 до 8). Это соответствует уравнению временно го прыжка, приведенному выше:
|
|
|
Δ t = γ (Δ T − Δ Xv /c ² ).
Здесь Δ t – скачок возраста Джона. (Его возраст на Земле идет в соответствии с временем в земной системе отсчета. )
Далее Мэри второй раз меняет собственную систему отсчета: ускоряется для движения обратно к Земле. Подставляем Δ X = − 3, 46c (расстояние в возвращающейся системе), Δ T = 0 (события одновременны), γ = 2 и v /c = − 0, 866, получаем:
Δ t = 2(0 + 3, 46 × 0, 866) = 6 (лет).
Это второй скачок возраста Джона, от значения в системе отсчета у звезды к его возрасту в возвращающейся системе; то и другое совпадает по времени с четвертым днем рождения Мэри. Одновременный возраст Джона в ускоряющейся собственной системе отсчета Мэри сменяется с 8 на 14. За время обратного полета Мэри Джон взрослеет еще на 2 года – и когда Мэри наконец возвращается, ему 16 лет.
Таким образом, при вычислении как в системе Джона (не испытывающей ускорений), так и в системе Мэри (испытывающей ускорения), получаем, что когда они вновь встретятся, Джону будет 16 лет, а Мэри лишь 8.
Вообще, не стоит вычислять что бы то ни было в ускоряющихся системах отсчета, если этого можно избежать. Скачки одновременности настолько контринтуитивны, что с ними трудно разбираться. Просто держитесь за любую неускоряющуюся систему отсчета – и можете быть уверены, что в любой другой системе, пойдя в вычислениях по сложному пути, вы получили бы ровно те же результаты.
|
|
|
