 |
Задача 2. « Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил»
|
|
|
|
Варианты 1 – 5 (схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной 
) по наклонной плоскости, составляющей угол 
с горизонтом, в течение 
с. Его начальная скорость 
. Коэффициенттрения скольжения тела по плоскости равен 
.
В точке В тело покидает плоскость со скоростью 
и попадает со скоростью 
в точку С плоскости BD, наклоненной под углом 
к горизонту, находясь в воздухе Т с.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 1. Дано: = 30°; = 0, = 0,2 = 10м, =60°. Определить и 
Вариант 2. Дано: = 15°; =2м/с, = 0,2, = 4м, =45°. Определить и уравнение траектории точки на участке BC.
Вариант 3. Дано: = 30°; = 2,5м/с, ≠ 0,, = 8м, d = 10м, =60°. Определить и
Вариант 4. Дано: =0, = 2с, = 0; =9,8м; =60°. Определить и T.
Вариант 5. Дано: = 30°; =0, = 3с, =9,8м; =45°. Определить и
Варианты 6 - 10 (схема 2). Лыжник подходи к точке А участка трамплина
АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину , со скоростью .
Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен . Лыжник от А до В движется с; в точке B со скоростью он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом
При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 6. Дано: 
= 20°, = 0,1, = 40м, =30°.
Определить 
и
Вариант 7. Дано: = 15°; = 16 м/с, = 0,1 = 5м, =45°.
Определить и T.
Вариант 8. Дано: = 21м/с, = 0, = 3с, = 20м/с, =60°.
Определить и d
Вариант 9 Дано: = 15°; = 3с, = 0,1, = 
м, =45°. Определить и .
Вариант 10. Дано: = 15°; = 12м/с, = 0, d = 50м, =60°. Определить и уравнение траектории лыжника на участке BC.
Варианты 11 – 15 (схема 3). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается с по участку АВ длиной , составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d,находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна т.
|
|
|
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.
Вариант 11. Дано: = 30°; Р ≠ 0; = 40 м; = 0: = 4,5 м/с; d = 3 м. Определить и .
Вариант 12. Дано: = 30°; Р = 0; = 40 м; = 4,5 м/с; = 1,5 м. Определить и d.
Вариант 13. Дано: = 30°; т = 400 кг, = 0; = 20 с; d = 3 м; =1,5 м. Определить Р и .
Вариант 14. Дано: = 30°; т = 400 кг; Р = 2,2 кН; = 0; = 40 м;: d = 5 м. Определить и .
Вариант 15. Дано: = 30°; = 0; Р = 2 кН, = 50 м; =50 м, d = 4 м. Определить Т и т
Варианты 16 – 20 (схема 4). Камень скользит в течение с, по участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину . Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен Имея в точке В скорость , камень через Т с ударяется; в точке С о вертикальную защитную стену.
При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано: = 30°; = 1 м/с; = 3 м; = 0,2; d = 2,5 м. Определить и Т.
Вариант 17. Дано: = 45°; = 6 м; = 2 ; 
= 1 с; = 6 м. Определить d и f.
Вариант 18. Дано: = 30°; = 2 м; = 0 м/с, = 0,2; d = 3 м,
Определить и .
Вариант 19. Дано: = 15°; =3 м; = 3 м/с, ≠ 0; = 1,5 с; d = 2 м,
Определить и .
Вариант 20. Дано: = 45°, = 0; = 0,3; d = 2 м; = 4 м. Определить и .
Варианты 21 – 25 (схема 5). Тело движется из точки А по, участку АВ (длиной ) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен . Через с тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью , при этом оно находится в воздухе Т с.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
|
|
|
Вариант 21. Дано: = 30°; = 1 м/с; = 1,5 с; = 0,1; = 10 м. Определить и d.
Вариант 22. Дано: = 45°; = 10 м; = 0; = 2 с;.Определить иуравнение траектории на участке BC.
Вариант 23. Дано: = 9,81 м; = 0 м/с, = 0; = 20 м, = 2 с, Определить и T
Вариант 24. Дано: = 30°; =10 м; = 0 м/с, = 0,2; d = 12 м,
Определить и .
Вариант 25. Дано: = 30°, = 0; = 0,2; = 4,5 м; = 6 м. Определить и .
Варианты 26 – 30 (схема 6). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной в течение с. Коэффициент скольжения тела по плоскости равен . Со скоростью тело в точке B покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе T с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано: = 7 м/с; = 8 м, = 0,2; = 20 м.
Определить и d.
Вариант 27. Дано: d = 2 м; = 4 м/с; = 2 с; = 0,1.
Определить и .
Вариант 28. Дано: = 3 м; =3 м/с, = 0,3; = 5 м.
Определить и T
Вариант 29. Дано: =2,5 м; = 3 м/с, =1 м/с, = 20 м.
Определить и d.
Вариант 30. Дано: = 0,25; = 5 м; = 4 м, d = 3 м.
Определить и .
Пример решения Задачи 2
В железнодорожных скальных выемках кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устанавливается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость 
= 0, определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину , камень движется с. При решении задачи считать коэффициент трения скольжения камня на участке AB постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: = 60°; = 0 м/с, ≠ 0, = 4м, = 1 с, =75°. Определить и b.
Решение: рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес 
, нормальную реакцию 
и силу трения скольжения 
. С оставим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:
Сила трения
где 
Таким образом
или 
интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем:
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t = 0, x 01=0 и 
*
Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:
Найдем постоянные С1 = 0, С2 = 0
тогда
Для момента , когда камень покидает участок,
|
|
|
т.е
откуда
т.е.
Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.
Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:
Начальные условия задачи; при t = 0
x0=0, y0 = 0
Интегрируем дифференциальные уравнения
x = C 3 t + C 5, y = gt 2/2 + C 4 t + C 5.
Напишем полученные уравнения для t = 0
x = C 5; y = C 6.
Отсюда найдем, что
Получим следующие уравнения проекций скоростей камня:
И уравнения его движения:
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:
В момент падения y = h, x = d.
Определяя d из уравнения траектории, найдем
d 1 = 2,11 м, d 2 = –7,75 м.
Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d = 2,11 м.
Минимальная ширина полки
b = d – ED = d – h/tg75°, или b = 0,77 м.
Используя уравнение движения камня 
найдем время Т движения камня от точки В до точки С: Т = 0,53 с.
Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат
По формуле
Для момента падения t = T = 0,53с
или
|
|
|
