Задача 3. «Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела»

 

Тело Н массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью w_о; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой т₂. В некоторый момент времени (t = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M_z = М_z (t). При t = х действие прекращается.

Определить угловую скорость w_t тела Н в момент t = t.

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью w_t.

В некоторый момент времени t₁ = 0 (t₁ – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба AВ (в направлении к В) по закону ОК = s = s (t₁).

Определить угловую скорость w _T тела Н при t₁ = Т.

Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму. Необходимые для решения данные приведены в таблицах.

Рисунки к соответствующим вариантам задач, приведены на страницах 25-27.

 

 

Номер варианта

т1,

т2

wо, с–1

а, м

b, м

R, м

a, град

АО, м

Mz=M*z(t) Н×м

t, с

ОК = s = s (t1)

Т,с

кг

–1

1,5

1,2

–

pR/6

–29,6t2

(5pR/12)t1

–2

–

–

t2

–

–

–

–120t

( /4)t12

–3

–

–

0,4

21t

0,6t1

1,5

1,5

–

–

0,5t1

2,5

–1,25

1,5

–

2,5

–

p a /6

–700t

(5p a /18) t12

–2

1,6

0,8

–

(pR/2)t12

1,2

–

–

p a / 2

(p a /4) t1

1,2

–

0,4

pR/4

(3pR/4) t12

–

–

–1

–

–

40t

0,4 t12

–3

–

–

50t2

(p a /3) t1

–

–

–

0,5

0,3t1

–

–

–

120t

0,5t1

–4

–

–

330t2

(p a /2) t12

–5

1,2

–

0,4

0,3 t12

–2

–

–

1,6

0,6

69t

0,6t1

0,8

–

pR/2

(pR/8)t12

1,5

–

–

–

–135t

(p a /4) t12

–

1,2

–

p a /6

–14t2

(p a /12) t12

–6

–

–

–

–1

1,6

1,2

0,6

–

pR/2

(pR/2)t12

–

–

–210

()t1

–3

0,6

–

–

0,2

27t2

0,4t1

–5

–

–

0,5

–

20t

(pR/6)t12

–4

1,5

–

–

p a /6

(p a /2) t12

–

–

–25t

t12

–2

0,6

–

–

–

0,1

5,6t

0,4t1

0,6

–

0,6

–

(5pR/6)t1

1,6

1,2

–

–

1,6

652t

0,2 t12

Примечание. Знак минус перед М_z и w соответствует вращению по направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

 

Таблица. «Осевые моменты инерции однородных пластин»

 

Пример решения Задачи 3

 

Дано: m ₁ = 200 кг; m ₂ = 80 кг; M_z = 592 t Н×м; w₀= – 2 рад/с; АО = 0,8 м;

R = 2,4 м; а = 1,2 м; t = t = 4 c; ОК = s = 0,5 t₁² м; t ₁ = Т = 2 с.

 

 

Определить w_t и w_Т, считая тело Н однородной круглой пластинкой. Решение. К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

,

где L_z кинетический момент системы, состоящей вданном случае из тела Н, и точки К, относительно оси z; – главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

На систему за время от t = 0 до t = t действуют силы: вес G₁ тела H, вес G₂ точки К, пара сил с моментом М_z и реакции подпятника и подшипника (рис. а).

Предположим, что вращение тела Н происходит против вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z; будем считать это направление положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента L_z системы, который скла­дывается из кинетического момента тела J_z wи момента количества дви­жения точки К, находящейся в точке О тела Н и имеющей скорость v = w× O₁O:

m₂v × O₁O = m₂ w× O₁O².

Таким образом,

L _z = J_z w+ m₂ w× O₁O²= (J_z+ m₂ × O₁O²) w

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту М_z, так как другие силы момента относительно оси z не создают.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента, примет вид

(1)

где М_z = ct (с = 592 Н×м/с).

Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую и правую части уравнения:

Тогда

(J_z + m ₂ × O ₁ O ²)(w_t– w₀) = ct²/2. (2)

Найдем числовые значения входящих в уравнение (2) величин.

Момент инерции тела Н относительно оси z найдем, используя теорему о зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей:

J_z = J_zС+m ₁ a ²,

где J_zC - момент инерции тела H однородной круглой пластинки относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси z:

J_zC=m ₁ R ² / 2.

Тогда

J_z=m ₁ R ² / 2 + m ₁ a ²,

т. е.

J_z = 864 кг × м².

Из чертежа (рис. 4, б) находим

(O ₁ O)= (ОС)² + (О ₁ С)², или (О ₁ О)² = 4 м²,

поэтому

J_z + m ₂ × O ₁ O ² = 864+ 80×4= 1184 кг×м².

Таким образом, из уравнения (2)

1184 [w_t – (– 2)] = 592 × 4²/2

имеем

w_t = 2 рад/с.

После прекращения действия момента М_z тело H вращается по инер­ции с угловой скоростью w_t; при этом к системе приложены силы G ₁, G ₂, реакции подпятника и подшипника (рис. б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от t ₁= 0 до t ₁= Т при движении самоходной тележки.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента системы, имеет для этого периода времени вид

d L_z/ d t = 0,

т. е.

L_z = const.

Определим значения кинетических моментов L_{z 0}при t ₁ = 0 и L_{z t}при t ₁=T и приравняем эти значения.

L_{z 0}= (J_z + m ₂ × O ₁ O ²)w_t = 2368 кг × м²/с.

При t ₁ > 0 скорость точки К складывается из относительной скорости v_r отношению к телу H и переносной скорости v_e в движении вместе с телом Н. Поэтому для t ₁=T покажем два вектора количества движения точки: и .

Для t ₁=T

L_zT = J ₂w_T + m ₂w_T(О₁К)² + m ₂ v_r × O ₁ C.

Найдем

(О ₁ К_Т) ² = (O ₁ С)² + (СК _Т)²,.

где

СК_Т = ОК_Т – ОС, ОК_Т = s_{t 1=T} = 0,5 Т ² = 0,5 × 2² = 2 м,

т.е. СК_Т = 2 – 1,6 = 0,4 м, (О ₁ К_Т)²= 1,2² + 0,4² = 1,6 м²

Относительная скорость

v_r, = d s /d t = t ₁,

при t ₁ = Т = 2 с.

v_r = 2 м/с;

Поэтому

L_zT = 864w_T + 80w_T –1,6 – 80 × 2 × 1,2 = 992w_T - 192.

Приравнивая L_{z 0} и L_zT: 2368 = 992w_T - 192, находим w_T = 2,59

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: