Задача 4. «Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы»

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунках. Учитывая трение скольжения тела 1(варианты 1 – 3, 5, 6, 8 – 12,17 – 23, 28 – 30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 – 9, 11, 13 – 15, 20, 21, 24, 27, 29), определить скорость тела 1в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, пренебречь.

В задании приняты следующие обозначения: т₁ т₂ т₃ т, ₄ – массы тел 1,2,3,4; R₂, r₂, R₃,r ₃ — радиусы больших и малых окружностей; i _2x, i _3x радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящие через их центры тяжести; a, b – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; d – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в табл. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

№

m1

m2

m3

m4

R2

R3

i2x

i3x

a

b

f

d,см

S,м

Примечание

Кг

см

см

Град

m

4m

1/5m

4/3m

–

–

–

–

–

0,1

–

m

1/2m

1/3m

–

–

–

0,22

0,2

m

m

1/10m

m

–

–

–

–

–

0,1

–

m

2m

40m

m

–

–

–

–

0,3

0,1p

Массами звеньев AB, BC и ползуна B пренебречь

m

2m

m

–

–

–

0,12

–

0,28p

Массой водила пренебречь

m

3m

m

–

–

–

–

0,1

0.28

1,5

m

2m

2m

–

–-

–

–

0,2

m

1/2m

1/3m

–

–

–

–

0,15

0.2

1,75

m

2m

9m

–

–

–

–

0,12

0,25

1,5

m

1/4m

1/4m

1/5m

–

–

–

–

–

0,1

–

m

1/2m

1/4m

–

–

–

0,17

0,2

2,5

m

1/2m

1/5m

m

–

–

–

0,2

–

2,5

m

2m

5m

2m

–

–

–

0,24

m

1/2m

5m

4m

–

–

–

–

–

–

0,2

Массы каждого из 4 колес одинаковы

m

1/2m

4m

1/2m

–

–

–

0,25

1,5

m

1/10m

1/20m

1/10m

–

–

–

–

–

–

0,05p

Массой водила пренебречь

m

1/4m

1/5m

1/10m

–

–

–

0,1

–

0,16p

Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень

m

3m

m

–

–

–

0,15

–

0,2p

Массой водила пренебречь

m

1/3m

1/10m

m

–

–

–

0,15

–

1,5

m

2m

20m

–

–

–

0,1

0,2

0,2p

Массами звеньев AB и BC и ползуном B пренебречь

m

m

2m

–

–

0,2

0,32

0,2p

m

½m

¼m

–

–

–

–

0.17

–

0,1p

Массой водила пренебречь

m

m

1/10m

4/5m

–

–

–

0,1

–

m

3m

20m

–

–

–

–

–

0,6

0,08p

Массами звеньев AB, BC и ползуном B пренебречь

m

1/3m

1/4m

–

–

–

–

–

–

–

0,04p

Массой водила пренебречь

m

1/2m

m

1/3m

–

–

–

–

–

–

0,6p

Массы и моменты инерции блоков 2 и 5 одинаковы

m

m

6m

1/2m

–

–

–

0,2

m

2m

3m

–

–

–

–

0,10

–

0,1p

Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень

m

1/4m

1/8m

–

–

–

–

0,20

0,20

2,4

m

1/2m

3/10m

3/2m

–

0,12

–

Пример решения Задачи 4

Дано: m₁ – масса груза 1, т₂ = 2т₁ т₃ = т_1, т₄ = 0,5т₁, т₅ = 20т_1,, R₂ = R₃ = 12 см, r₂ = 0,5R₂, r₃ = 0,75R₃, R₅ = 20, AB = l = 4R₃ , i_3x = 8 см; i_2x = 8 см, a = 30°, f = 0,1, d = 0,2 см, s = 0,06p м. Сопротивление качению тела 2 не учитывать. Шатун 4 считать тонким однородным стержнем; каток 5 – однородный сплошной цилиндр. массами звена ВС₅ и ползуна В пренебречь. На рис. 1, а показана механическая система в начальном положении.

Найти u₁– скорость груза 1 в конечном положении.

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T и T₀ – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

–сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное;

– сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то T₀ = 0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид

. (2)

Для определения кинетической энергии T и суммы работ внешних сил надо изобразить систему в конечном положении (рис б, в).

 

 

Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т.е. уравнения связей. при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Скорость центра масс С катка 2 равна скорости груза 1:

(3)

Угловая скорость катка 2, мгновенный центр скоростей которого находится в точке P₂ ,

.

Учитывая (3),получим

. (4)

Скорость точки D катка 2

,

т.е.

Скорость точки E,блока 3 равна скорости точки Dкатка 2:

(5)

Но

.

Следовательно, по (5),

Так как

То

откуда

(6)

Заменяя в формуле (6)

, ,

получим

или

После интегрирования (при нулевых начальных условиях)

(7)

Когда груз 1 пройдет путь м, блок 3 повернется на угол

При этом повороте блока 3 на 180⁰ его точка А перейдет в конечное положение А и шатун 4 из начального положения А₀В₀ перейдет в конечное положение АВ.

Каток 5 переместится влево при повороте блока 3 на угол

И вправо при повороте блока еще на ;значит,конечное положение катка 5 совпадает с его начальным положением.

Таким образом, конечное положение всей системы вполне определено.

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3,4, 5:

Т = T₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ + Т₅ (8)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

Т₁= m₁ /2. (9)

 

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение,

, (10)

где – момент инерции катка 2 относительно его продольной центральной оси :

.

Подставляя (3), (4), (11) в формулу (10), получаем

 

.

 

Кинетическая энергия тела 3, вращающего вокруг оси Оx,

где -момент инерции блока 3 относительно оси Ох:

Подставляя (6), (14) в формулу (13), получаем

 

.

Кинетическая энергия шатуна 4, совершающего плоское движение,

 

где u_с4 – скорость центра масс С₄ шатуна 4, w₄-угловая скорость шатуна 4; -момент инерции шатуна относительно центральной оси С_4x.

Для определения u_С4 и w₄ найдем положение мгновенного центра скоростей шатуна 4.Так как скорости точек А и В в этот момент параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна 4 находится в бесконечности; следовательно, угловая скорость шатуна в данный момент w₄=0, а скорости всех его точек параллельны и равны между собой. Таким образом, кинетическая энергия шатуна 4

 

,

 

где

u_С4=u_А.

Вращательная скорость точки А тела 3

u_А=w₃R₃,

или с учетом (14)

u_А=³/₂R₃u₁/r₃.

Поскольку r₃=³/₄R₃, получим

u_А=2u₁.

По (17)

u_С4=u_А, u_С4=2u₁.

После подстановки (19) в (16) выражение кинетической энергии шатуна 4 принимает вид

_.

Кинетическая энергия катка 5,совершающего плоское движение,

где u_С5- скорость центра масс С₅ катка 5; J_5x- момент инерции катка 5 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной продольной оси С_5x, ; w₅-угловая скорость катка 5.

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке Р₅.Поэтому

w₅₌u_С5/R₅

Следовательно,

.

Так как звено ВС₅ совершает поступательное движение, то u_С5=u_В, но u_В=u_С4=2u₁.Значит, u_С5=2u₁.

Поэтому выражение кинетической энергии катка 5 принимает вид

.

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (8) с учетом (9), (12), (15), (20), (21):

.

Подставляя сюда заданные значения масс, получаем

или

.

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещение. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рис.155,в).

Работа силы тяжести

Работа силы трения скольжения

Так как

то

Работа силы тяжести

Работа сил сцепления катков 2 и 5 равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей этих катков.

Работа силы тяжести

,

где h_C4-вертикальное перемещение центра тяжести С₄ шатуна 4 из начального положения в его конечное положение (рис.155,г):

h_C4=R₃,

A_G4=m₄gR₃.

Работа пары сил сопротивления качению катка 5

,

где М_С=dN₅=dG₅-момент пары сил сопротивления качению катка 5; j₅-угол поворота катка 5.

Так как каток 5 катится без скольжения, то угол поворота

j₅=S_C5/R₅

где S_C5-перемещение центра тяжести С₅ катка 5.

В данном примере работу пары сил сопротивления вычислим как сумму работ этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол p/2 и качении вправо, когда тело 3 повернется еще на угол p/2.

Перемещение центра тяжести С₅ катка 5 равно перемещению ползуна В влево и право:

s_C5=2(В₀В^/).

Определим перемещение В₀В^/ при повороте тела 3 на угол p/2. За начало отсчета координаты точки В выберем неподвижную точку К плоскости. При повороте тела 3 шатун из положения А_оВ_о перейдет в положение КВ^/. Тогда

,

где

,

Следовательно,

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: