Колебания кристаллической решётки

Колебания кристаллической решётки, один из основных видов внутренних движений твёрдого тела, при котором составляющие его частицы (атомы или ионы) колеблются около положений равновесия — узлов кристаллической решётки. К. к. р., например, в виде стоячих или бегущих звуковых волн возникают всякий раз, когда на кристалл действует внешняя сила, изменяющаяся со временем. Однако и в отсутствие внешних воздействий в кристалле, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, устанавливается стационарное состояние колебаний, подобно тому как в газе устанавливается стационарное распределение атомов или молекул по скорости их поступательного движения.

Характер этих колебаний зависит от симметрии кристалла, числа атомов в его элементарной ячейке, типа химической связи, а также от вида и концентрации дефектов в кристаллах. Смещения и атомов в процессе колебаний тем больше, чем выше температура, но они гораздо меньше постоянной решетки вплоть до температуры плавления, когда твердое тело превращается в жидкость. Силы, которые стремятся удержать атомы в положениях равновесия, пропорциональны их относительным смещениям так, как если бы они были связаны друг с другом пружинками. Представление кристалла в виде совокупности частиц, связанных идеально упругими силами, называется гармоническим приближением.

В кристалле, состоящем из N элементарных ячеек по n атомов в каждой, существует 3nN — 6 типов простейших колебаний в виде стоячих волн, называемых нормальными (либо собственными) колебаниями, или модами. Их число равно числу степеней свободы у совокупности частиц кристалла за вычетом трёх степеней свободы, отвечающих поступательному, и трёх — вращательному движению кристалла как целого (см. Степеней свободы число). Числом 6 можно пренебречь, так как 3nN — величина ~ 10²²—10²³ для 1 см³ кристалла.

В процессе нормального колебания все частицы кристалла колеблются около своих положений равновесия с одной и той же постоянной частотой w по закону u ~ sinw· t подобно простому гармоническому осциллятору. В кристалле одновременно могут присутствовать все возможные нормальные колебания, причем каждое протекает так, как если бы остальных не было вовсе. Любое движение атомов в кристалле, не нарушающее его микроструктуры, может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний кристалла.

Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры. Согласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (kT <<D E), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы прак­тически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.

Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т. е. D E _вращ<<D E _кол, то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колеба­тельные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости.

Функции распределения Ферми — Дирака для T =0 К и T >0 заметно различаются лишь в узкой области энергий (порядка kT). Следовательно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимо­сти.Этим и объясняется отсутствие заметной разницы между теплоемкостями метал­лов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией.

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией Е= . Фонон есть квант энергии звуко­вой волны (так как упругие волны — волны звуковые). Фононы являются квазичасти­цами — элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (напри­мер, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при сто­лкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Электропроводность металлов. Недостаточность электронной теории.

Классическая электронная теория металлов представляет твер­дый проводник в виде системы, состоящей из узлов кристаллической ионной решетки, внутри которой находится электронный газ свободных электронов. В свободное состоя­ние от каждого атома металла переходит от одного до двух электро­нов. К электронному газу применялись представления и законы статистики обычных газов. При изучении хаотического (теплового) и направленного под действием силы электрического поля движения электронов был выведен закон Ома. При столкновениях электронов с узлами кристаллической решетки энергия, накопленная при уско­рении электронов в электрическом поле, передается металлической основе проводчика, вследствие чего он нагревается.

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основы­вающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пере­смотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

(1)

Здесь п — концентрация электронов прово­димости в металле, á l_F ñ — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, á u_F ñ — средняя скорость теплового движения такого электрона.

Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: g ~ 1/ T (классическая теория дает, что g ~1/ ), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле.

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде — она «электронные волны» не рас­сеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упо­рядоченному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связан­ных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, á u ñ ~ , поэтому она не смогла объяснить истин­ную зависимость g от температуры. В квантовой теории средняя скорость á u_F ñ от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробе­га электронов. В области комнатных температур á l_F ñ ~Т ^–1, поэтому, учитывая незави­симость á u ñ от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/g) в соответ­ствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона.

Сверхпроводи́мость —свойство некоторых материалов обладать строго нулевым электрическим сопротивлением при достижении ими температуры ниже определённого значения (критическая температура). Сверхпроводимость — квантовое явление. Оно характеризуется также эффектом Мейснера, заключающемся в полном вытеснении магнитного поля из объема сверхпроводника. Существование этого эффекта показывает, что сверхпроводимость не может быть описана просто как идеальная проводимость в классическом понимании.

Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменя­ется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оп­тические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электрических свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоем­кости, а при переходе в сверхпроводящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность, и теплоемкость (такие явления характерны для фазовых переходов II рода). Достаточно сильное магнитное поле (а следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) раз­рушает сверхпроводящее состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейсснер (1882—1974), в сверхпроводящем состоя­нии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры магнитное поле из него вытесняется(эффект Мейсснера).

Явление сверхпроводимости обусловлено физическими причинами, общими для различных веществ, т. е. должен существовать единый для всех сверхпроводников механизм этого явления.

На основе теории сверхпроводимости английский физик Б. Джозефсон (р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект, названный его именем (Нобелевская премия 1973 г.). Эффект Джозефсона (обнаружен в 1963 г.) — протекание сверхпроводящего тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной»1 нм), раз­деляющий два сверхпроводника (так называемый контакт Джозефсона). Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря туннельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некоторое критическое значение, то падения напряжения на нем нет (стационарный эффект), если превышает — возникает падение напряжения U и контакт излучает электромагнитные волны (нестационарным эффект). Частота n излучения связана с U на контакте соотношением n= 2 eU/h (е — заряд электрона). Возникновение излучения объясняется тем, что куперовские пары (они создают сверхпроводящий ток), проходя сквозь контакт, приобретают относительно основного состояния сверхпроводника избыточную энергию. Возвращаясь в основное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии hn= 2 eU.

Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабых магнитных полей (до 10^–18 Тл), токов (до 10^–10 А) и напряжений (до 10^–15 В), а также для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.

Элементы зонной теории твердых тел.

Используя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. По мере «сжатия» нашей модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимо­действие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смеща­ются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется зонный энергетический спектр.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом в вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле ва­лентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами,чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннельный эффект). Это приводит к тому, что среднее время жизни t валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10^–15 с (для изолированного атома оно примерно 10^–8 с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределенностей D E ~ h /t. Следовательно, если естественная ширина спектральных линий составляет примерно 10^–7 эВ, то в кристал­лах D E»1¸10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных электронов расширяются в зону дозволенных значений энергии.

Рис 1

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 1 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколь­ко атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее рас­положены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10^–22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энер­гии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: