Задание на лабораторную работу

1. Найти методом Гаусса с выбором ведущего элемента решение системы линейных уравнений:

Значения и берутся из табл. 1.1 и определяются номером варианта, который получает студент от преподавателя.

Таблица 1.1

Значения параметров и

№ вар.
						0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,4
		0,2	0,4	0,6	0,8		0,2	0,4	0,6	0,8
№ вар.
	0,4	0,4	0,4	0,4	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,8	0,8
	0,2	0,4	0,6	0,8		0,2	0,4	0,6	0,8		0,2
№ вар.
	0,8	0,8	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,2	1,2	1,2	1,2
	0,4	0,6	0,8		0,2	0,4	0,6	0,8		0,2	0,4

 

2. Решить систему уравнений методом Гаусса с помощью микрокалькулятора (МК). Вычисления на МК вести с 6 знаками после запятой.

3. Заполнить расчетный бланк.

4. Найти невязки полученного решения.

5. Продолжить выполнение работы в компьютерном классе. Решить систему с помощью ЭВМ.

6. Сравнить результаты машинного решения и полученного по расчетному бланку.

7. Оформить результаты в виде отчета, в который входят: титульный лист; исходная система уравнений; расчетный бланк; невязки; результаты сравнения машинного и ручного решения системы.

Порядок выполнения работы в компьютерном классе

 

1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab1.mcd (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab1.mcd в первом разделе «Получение решения в системе Mathcad» отыскивается решение определенной системы линейных уравнений с помощью стандартной функции системы Mathcad lsolve (A, B). Во втором разделе «Метод Гаусса решения СЛАУ» в первом пункте запрограммирован одноименный метод с выбором ведущего элемента, а во втором пункте приведены примеры нахождения решения несовместных, определенных и неопределенных систем линейных уравнений методом Гаусса с помощью стандартной функции системы Mathcad rref (C). В третьем разделе «Матричный метод решения СЛАУ» запрограммирован одноименный метод решения определенных систем линейных уравнений по формуле , где – обратная матрица для матрицы системы . В последнем разделе «Решение линейных и нелинейных систем уравнений аналитически» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению точных аналитических решений систем линейных и нелинейных уравнений с помощью программного блока системы Mathcad «Given – – Find (var 1, var 2,…)», где var 1, var 2,… – отыскиваемые переменные.

5. Введите вместо элементов матрицы системы A и столбца свободных элементов B в задании примера свои значения. При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 8.30, 1.90 и т. д.).

6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

 

Пример выполнения работы

 

Найти решение методом Гаусса системы , где

Выполняем расчеты с помощью МК.

1. Сначала выбираем максимальный по модулю элемент среди элементов первого столбца матрицы A. Он равен 8,30 и находится в первом уравнении. Поэтому нет необходимости в перестановке строк.

2. Заносим коэффициенты системы в первые 4 строки бланка расчета в столбцах, отмеченных буквами (табл. 1.2).

3. Суммируем элементы в каждой строке и записываем сумму в последний, контрольный столбец, обозначенный .

4. Заполняем далее столбец (m – номер уравнения, m =2,3,4). Во второй – четвертой строках этого столбца записываем числа, которые вычисляются по формулам (1.5):

Первые 4 строки бланка заполнены полностью (табл. 1.2).

5. Для получения следующих трех строк применим формулы (1.6). Так элементы первой из этих строк будут равны

Для выполнения контроля суммируем элементы этой строки (кроме последнего). Получаем

2,311253 + 0,598314 + 6,484097 – 5,644710 = 3,754254.

Сравниваем этот результат с . Отличие наблюдается лишь в последнем десятичном знаке, значит наши вычисления верны. Аналогично находим и контролируем элементы остальных строк. Первый цикл закончен. Для выполнения второго цикла необходимо выбрать новую ведущую строку по коэффициентам при . Это будет уже вторая строка (). Переставляем ее на место первой и повторяем уже проделанные расчеты; и так до окончания прямого хода.

Таблица 1.2

Расчетный бланк метода Гаусса

Номер Цикла	m
k =1		0,266265 0,472289 0,454217	8,30 2,21 3,92 3,77	3,12 3,15 8,45 7,71	4,10 1,69 7,28 8,04	1,90 6,99 2,46 2,28	– 10,15 – 8,35 12,21 14,95	7,27 5,69 34,32 36,75
Конеццикла				2,319253 6,976458 6,292844	0,598314 5,343615 6,177711	6,484097 1,562651 1,416988	– 5,647410 17,003734 19,560300	3,754254 30,886458 33,447843
k =2		0,332440 0,902011		6,976458 2,319253 6,292844	5,343615 0,598314 6,177711	1,562651 6,484097 1,416988	17,003734 – 5,647410 19,560300	30,886458 3,754254 33,447843
Конеццикла					– 1,178117 1,357711	5,964609 0,007460	– 11,300129 4,222742	– 6,513637 5,587913
k =3		– 0,867723			1,357711 – 1,178117	0,007460 5,964609	4,222742 – 11,300129	5,587913 – 6,513637
Конеццикла						5,971082	– 7,635959	– 1,664877

 

6. После этого выполняем обратный ход метода Гаусса. Находим неизвестные:

7. Выписываем полученное решение:

8. Так как в ходе решения вычисления выполнялись с округлением, то полученные значения неизвестных являются неточными. Поэтому для контроля расчета вычислим невязки, представляющие собой модули разностей между правыми и левыми частями уравнений системы:

Так как матрица системы хорошо обусловлена (во всех вариантах это условие выполняется) и невязки малы по модулю, то решение системы найдено достаточно точно.

9. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab1.mcd. Вводим столбец свободных элементов и матрицу системы уравнений:

С помощью встроенной функции (см. п. 6.4) пакета Mathcad для нахождения решения определенных систем линейных уравнений находим «точное решение»

.

10. Выписываем полученное на компьютере решение

и вычисляем абсолютные погрешности, с какими найдены неизвестные в приближенном решении:

т. е. все погрешности меньше и решение найдено достаточно точно.

11. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

2. Какая система линейных алгебраических уравнений совместна, какая несовместна?

3. Какая совместная система линейных алгебраических уравнений определена, какая неопределена?

4. Что называется основной и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

5. Что такое ранг матрицы A?

6. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

7. Когда система линейных алгебраических уравнений определена и когда неопределена?

8. Что такое элементарные преобразования строк матрицы?

9. Опишите структуру бланка расчета в методе Гаусса.

10. Как выполняется контроль текущих вычислений при реализации метода Гаусса?

11. Для чего предназначен контрольный столбец и как он формируется?

12. Опишите алгоритм прямого хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы прямого хода.

13. Опишите алгоритм обратного хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы обратного хода.

14. В чем состоит смысл выбора ведущей строки в методе Гаусса?

15. Что называется невязками уравнений системы?

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: