 |
Оценка погрешностей методов
|
|
|
|
Полученные формулы интегрирования обычно дают приближенный результат. Можно показать [1]–[3], что абсолютная погрешность при вычислении интеграла (3.1) методами правых, левых и средних прямоугольников, трапеций и Симпсона удовлетворяет неравенствам:
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
где
(3.15)
В ряде случаев получить оценки 
и 
оказывается сложным. Тогда их удобнее выразить через конечные разности 
:
(3.16)
где
(3.17)
С учетом этого неравенства (3.10)–(3.14) примут вид:
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Из условий (3.10)–(3.14) следуют ограничения на выбор величины шага h или на число отрезков интегрирования n. В частности,
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
При этом n должно быть целым, а для метода Симпсона еще и четным.
Проверить, достигнута ли требуемая точность метода, и заодно определить необходимую величину шага можно по методу Рунге, который заключается в следующем. Выполняются два вычисления значения интеграла – одно с выбранным шагом h, другое – с шагом h /2. Если выполняется неравенство
(3.27)
где 
для формул средних прямоугольников и трапеций, 
для формулы Симпсона, то результат вычисления дает приближенное значение интеграла с требуемой точностью 
. Если неравенство (3.27) не выполняется, то начальный шаг интегрирования нужно уменьшить в два раза и опять повторить вычисления. Практически для оценки точности вычислений можно пользоваться правилом: совпадающие десятичные знаки у значений интеграла, вычисленные с h и h /2, принадлежат точному значению интеграла.
Полная погрешность вычисления интеграла складывается из суммы погрешности округлений 
(где 
– максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции) и погрешности метода.
|
|
|
Задание на лабораторную работу
1. Из табл. 3.1 выбрать свой вариант задания.
Таблица 3.1
Варианты заданий
| № | 
| a | b | № |
| a | b |
| 0,2 | 0,44 | 
| 0,5 | 1,3 | ||
| 0,3 | 0,7 | 
| 0,1 | 0,9 | ||
| 0,5 | 1,7 | 
| 0,5 | 1,3 | ||
| 0,6 | 1,8 | 
| 0,2 | 1,0 | ||
| 3,0 | 4,6 | 
| 0,1 | 0,9 | ||
| 1,7 | 2,9 | 
| 0,2 | 1,0 | ||
| 2,0 | 2,8 | 
| 15,2 | |||
| 1,7 | 2,5 | 
| 6,2 | |||
| 0,4 | 1,2 | 
| 0,1 | 0,9 | ||
| 0,1 | 0,9 | 
| 0,1 | 0,9 | ||
| 0,4 | 1,2 | 
| 40,0 | 42,4 | ||
| 0,4 | 1,2 | 
| 0,2 | 1,0 | ||
| 0,4 | 1,2 | 
| 0,3 | 1,1 | ||
| 0,2 | 1,0 | 
| 0,1 | 0,9 | ||
| 0,3 | 1,1 | 
| 0,8 | 1,2 |
2. Составить таблицу значений функции и конечных разностей, предварительно разбив отрезок интегрирования на 8 частей.
3. Вычислить на микрокалькуляторе значение определенного интеграла по формулам трапеций и Симпсона. Провести оценку погрешности полученных значений интеграла. Сравнить результаты.
4. Продолжить работу в компьютерном классе.
5. Выписать точное значение интеграла и найти абсолютные погрешности найденных с помощью калькулятора значений методами трапеций и Симпсона.
6. Выписать, полученные на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования 
, обеспечивающее точность 
методов левых и правых прямоугольников и значения интеграла при этих значениях n.
7. Выписать, полученные на компьютере число точек разбиения n отрезка интегрирования , обеспечивающее точность 
методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона и значения интеграла при этих значениях n.
8. Используя полученные данные, оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица значений функции и конечных разностей; значения интеграла и погрешности методов трапеций и Симпсона для n =8; полученное с помощью компьютера точное значение интеграла; вычисленные на МК абсолютные погрешности найденных значений интеграла; найденное на ЭВМ число точек разбиения, обеспечивающее точность методов правых и левых прямоугольников; число точек разбиения, обеспечивающее точность методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона; значения интегралов этих методов и их абсолютные погрешности.
|
|
|
|
|
|
