 |
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
|
|
|
|
Постановка задачи
Многие практические задачи при их математическом моделировании сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к уравнениям, в которые входят независимая переменная, искомая функция и ее производные. В данной лабораторной работе рассматриваются численные методы поиска решения 
для дифференциального уравнения первого порядка
(4.1)
которое удовлетворяет начальному условию
. (4.2)
Известно [1]–[3], что для существования и единственности решения этой задачи(задача Коши) достаточно, чтобы функция 
и ее частная производная 
были непрерывны в некоторой области плоскости 
, содержащей окрестность точки 
. В то же время аналитическое решение задачи Коши можно найти только в отдельных, наиболее простых случаях, изучаемых в курсе высшей математики [1]. В остальных случаях решение ищется приближенными методами.
Все приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно условно разделить на следующие группы: аналитические (дают приближение 
аналитическим выражением), графические (дают приближение графиком) и численные (дают приближение с помощью таблицы). В данной лабораторной работе рассматриваются лишь два из большого числа численных методов решения задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта [1]–[3]. При этом решение 
находится в виде таблицы своих значений: 
соответственно для значений аргумента: 
.
Рис. 4.1. Интегральная кривая y = y (x) (кривая 1) и
график приближенного решения задачи Коши (кривая 2)
Если соединить найденные в процессе решения точки 
, гладкой кривой, то получим график приближенного решения задачи Коши (рис. 4.1). Этот график по мере удаления от начальной точки 
все более и более будет отклоняться от графика точного решения (интегральная кривая). Степень отклонения приближенного решения от точного характеризует точность численного метода.
|
|
|
Метод Эйлера
Метод Эйлера состоит в следующем. Отрезок 
, на котором ищется приближенное решение, делится точками
на n равных частей, где 
– шаг интегрирования дифференциального уравнения. Зная значение 
решения в точке 
, можно найти приближенно 
в точках 
по следующей рекуррентной формуле:
(4.3)
Геометрически в методе Эйлера искомую интегральную кривую на интервале 
заменяем отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке 
(рис. 4.2). Уравнение касательной имеет вид
где 
. Поэтому ордината касательной в точке 
равна 
, т. е. получили формулу (4.3) для случая 
. Далее строим касательную в точке 
к интегральной кривой 2, которая уже не совпадает с искомой. Находим ординату 
касательной в точке 
, получаем формулу (4.3) уже при 
. И так до тех пор, пока не достигнем конца отрезка b (рис. 4.3).
Рис. 4.2. Графическая иллюстрация метода Эйлера
1 – искомая интегральная кривая, 2,3 – другие интегральные кривые
Рис. 4.3. Графическая иллюстрация метода Эйлера
1 – ломаная Эйлера, 2 – искомая интегральная кривая
Для оценки локальной погрешности метода Эйлера в точке 
используется неравенство [1]–[3]
(4.4)
где 
– точное значение решения задачи Коши в точке , а 
– приближенные значения решения, вычисленные по формуле (4.3) с шагами 
и 
соответственно. Из неравенства (4.4) следует, что для достижения необходимой точности 
нужно просчитать значение 
по формуле (4.3) с шагом , а затем, уменьшив шаг вдвое, снова повторить расчеты. Если при этом окажется, что для всех 
выполняется неравенство: 
то на шаге достигнута необходимая точность.
Метод Рунге-Кутта
Метод Эйлера прост в реализации, но обладает сравнительно небольшой точностью. Поэтому для решения задачи Коши с повышенной точностью обычно используют метод Рунге-Кутта [1]–[3].
|
|
|
Как и прежде, разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей. Зная значения 
– решение задачи Коши в точке , будем искать значение решения в точке 
по следующей формуле Рунге-Кутта:
(4.5)
где
(4.6)
Вычисления по формулам (4.5), (4.6) выполняются в следующем порядке. Для начальной точки , где 
, вычисляют 
, затем последовательно 
и 
. После этого все значения подставляются в формулу (4.5) 
и находится 
при 
. Далее процесс продолжается аналогично до конца отрезка 
.
Для оценки локальной погрешности метода Рунге-Кутта используется уже неравенство [2], [3]:
(4.7)
где 
имеют тот же смысл, что и в неравенстве (4.4).
Выбор шага интегрирования
Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [2], [3], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок 
. Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта.
Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку 
(где c = const), то начальное значение 
можно выбрать из неравенства
(4.8)
При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо одновременное выполнение условия:
(целое число). (4.9)
Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (4.7), нужно будет сделать просчет по формулам (4.5), (4.6) с шагом 2 h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение 
было четным.
После выбора начального значения шага 
проводится его уточнение. Для этого из точки просчет по формулам (4.5), (4.6) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2 h. При этом получаются два значения решения задачи ( и 
) в одной и той же точке 
. Если 
, то можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.
|
|
|
