Порядок выполнения работы в компьютерном классе

 

1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3. Узнайте у лаборанта расположение пакета Lab и откройте файл Lab2.mcd (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. В файле Lab2.mcd в первом разделе «Отыскание корня в системе Mathcad» реализован графический метод отделения корней уравнения и получение приближенного значения корня с любой точностью с помощью стандартной функции системы Mathcad (см. п. 6.2). Во втором разделе «Метод половинного деления» запрограммирован одноименный метод отыскания корня с возможностью определять количество делений отрезка пополам, обеспечивающее любую заданную точность этого приближенного корня. В следующих трех разделах запрограммированы реккурентные формулы методов Ньютона, хорд и комбинированного метода нахождения приближений корня (2.6), (2.9), (2.11), (2.12) и формулы определения погрешностей этих приближений по формулам (2.7), (2.10) и (2.13). В последнем разделе «Вычисление точных аналитических корней уравнений» приведены дополнительные сведения о возможностях системы Mathcad по нахождению точных аналитических корней уравнений в системе Mathcad.

5. Введите вместо задания примера свою функцию , т. е. левую часть уравнения . Для набора необходимой Вам функции нужно либо скопировать ее из варианта, приведенного в конце файла, либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’; вычитание – ‘–‘; умножение – ‘*’; деление – ‘/’; возведение в степень – ‘^’; квадратный корень – ‘\’; синус – sin(x); косинус – cos(x); экспонента – exp(x); натуральный логарифм – ln(x). С помощью графического метода определите начальный отрезок единичной длины и введите его начальную и конечную точки. При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.5, 1.5 и т. д.).

6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

 

Пример выполнения работы

 

Найти наименьший положительный корень уравнения

.

1. Область определения функции ее производные

2. Строим графики функций: находим точки пересечения графиков. Из рис. 2.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем: Поскольку и функция непрерывна, то в силу теоремы 1 внутри отрезка имеются корни. Поскольку и для всех , следовательно для всех , т. е. функция возрастающая на . Поэтому на основании теоремы 2 внутри этого отрезка имеется один корень уравнения и он может быть взят в качестве начального.

Рис. 2.6. Графики функций и

 

3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Уточнение начального отрезка методом половинного деления

N
	0,5	1,0	1,5	1,0	– 0,974	– 0,386	1,766
	1,0	1,25	1,5	0,5	– 0,386	0,449	1,766
	1,0	1,125	1,25	0,25	– 0,386	– 0,023	0,449
	1,125	1,1875	1,25	0,125

 

В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение корня ; погрешность корня равной . При этом были введены следующие дополнительные обозначения: .

Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (2.13). Результаты вычислений заносим в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Уточнение корня комбинированным методом

N
	1,125	1,250	0,125	– 0,023092	0,444045	4,243056
	1,131114	1,144170	0,013056	– 0,002622	0,041961	3,460994
	1,131882	1,132046	0,000164

 

Так как , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень уравнения

4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию

Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 2.7)

 

Рис. 2.7. График функции f (x)

 

Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, и существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения лежит в интервале [0,5;1,5], причем единственный. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы. После этого находим корень с точностью до с помощью встроенной функции системы Mathcad

5. Выписываем точное решение и сравниваем полученные результаты ручного и машинного счета. Определяем погрешность:

6. Определяем с помощью компьютера значение корня методом половинного деления с точностью . По формуле, чтобы удовлетворить погрешности , для начального отрезка единичной длины необходимо провести шагов.

Выписываем автоматически вычисленное по этой формуле в соответствующем разделе количество шагов и таблицу 2.4, содержащую первые и последние три шага получившейся матрицы приближений корня методом половинного деления.

Таблица 2.4

Отыскание корня методом половинного деления

N					…
	0,5	1,0	1,0	1,125	…	1,131836	1,131866	1,131882
	1,5	1,5	1,25	1,25	…	1,131897	1,131897	1,131897

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

7. Получим на компьютере значение корня методом Ньютона с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.7) определяем погрешность . Следовательно, увеличивая N на единицу, вводим в программу и получаем . То есть требуемая точность достигнута (если это не так продолжаем увеличивать N на единицу).

. Выписываем получившуюся таблицу 2.5 для .

Таблица 2.5

Отыскание корня методом Ньютона

N
	1,5	1,221958726	1,139300286	1,131948438	1,131892063

 

Получим приближенный корень , абсолютная погрешность которого .

8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.10) получим и оценим погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим , для которого . Увеличиваем N еще на единицу, вводим , для которого . Т. е. требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).

Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для .

 

Таблица 2.6

Отыскание корня методом хорд

N				…
	0,5	0,855440054	1,035664929	…	1,131891898	1,131892012

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

9. Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и получаем по формуле (2.13) погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу и вводим , для которого . То есть требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу).

Выписываем получившуюся таблицу 2.7 для .

 

Таблица 2.7

Отыскание корня комбинированным методом

N
	0,5	0,8554400542	1,1020813008	1,1316586589	1,1318920464
	1,5	1,2219587264	1,1393002857	1,1319483820	1,1318920634

 

Получим корень , абсолютная погрешность которого .

10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.

Вопросы для самоконтроля

 

1. Уравнение какого типа решается в данной работе?

2. Что называется корнем уравнения ?

3. Как графически решить уравнения ?

4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода.

5. В чем состоит этап отделения корней уравнения ?

6. Сколько корней должна иметь функция на начальном отрезке ?

7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке?

8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке?

9. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке ?

10. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке ?

11. Привести алгоритм решения уравнения методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию ?

12. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона?

13. Как выбирается начальная точка в методе Ньютона?

14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности.

15. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом хорд?

16. Как выбирается начальная точка в методе хорд?

17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности.

18. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить комбинированным методом?

19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул?

20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: