Раздел 9. Энергия связи ядра. Ядерные реакции.

Пример 9.1. Вычислить дефект массы Δm, энергию связи Е_св и удельную энергию связи Е_{св уд} ядра ₁₃Al²⁷ (массовое число А = 27, зарядовое число Z = 13).

Решение. Масса ядра всегда меньше массы свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:

 

Δm = Z·m_р + (A-Z)·m_n –m_Я.

 

Здесь Z – номер элемента в периодической системе (зарядовое число, равное количеству протонов в ядре атома); А –массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); m_р, m_n, m_Я - массы протона, нейтрона и ядра соответственно.

Как правило, в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, но не ядер. Поэтому полученное выражение нужно преобразовать таким образом, чтобы в него входила масса нейтрального атома. Массу ядра можно выразить через массу атома m_А и массу электронов, входящих в состав атома. Если m_е - масса электрона, то

m_Я = m_А – Z m_е.

 

Подставив это в выражение для дефекта массы, получим:

 

Δm = Z·m_р + (A-Z)·m_n – m_А – Z m_е = Z(m_р + m_е)+(A-Z)m_n –m_А,

 

Здесь (m_р + m_е) = m_Н – масса атома водорода. Поэтому окончательно имеем:

 

Δm = Z·m_Н + (A-Z)·m_n –m_А.

 

Для ядра ₁₃Al²⁷ получим:

 

Δm = 13·1,00783 + (27 – 13)·1,00867 - 26,98135 = 0,242 а.е.м.

 

Используемые здесь значения масс атомов, протонов и нейтронов можно найти в справочных таблицах.

Энергия связи – разность энергий покоя свободных нуклонов, составляющих ядро, и энергии покоя целого ядра. Масса и энергия, как известно, связаны друг с другом по формуле Эйнштейна:

Е_св = Δm·c².

 

В системе СИ используются размерности: [Δm]=кг, [c²]= . В ядерной физике используют для удобства внесистемные единицы измерения энергии и массы:

1 МэВ = 1,6·10^-13 Дж; 1 а.е.м. = 1,67·10^{-27 кг}

 

При переходе к таким единицам получим:

 

c² = 9 · 10¹⁶ =9 · 10¹⁶ · 1,67·10^-27 / 1,6·10^-13 .=931 .

 

Таким образом, при использовании внесистемных единиц измерения формула для энергии связи примет вид:

 

Е_св = Δm ·931 МэВ.

 

Для рассматриваемого ядра получим: Е_св = 931 · 0,242 = 225,3 МэВ.

Разделив полученное значение на число нуклонов в ядре, получим удельную энергию связи (т.е. энергию связи, приходящуюся на один нуклон):

Е_{св уд} = = = 8,345 .

 

 

Пример 9.2. В результате захвата α-частицы ядром изотопа азота ₇N¹⁴ образуются неизвестный элемент и протон. Написать реакцию и определить неизвестный элемент.

Решение. Запишем ядерную реакцию

 

₇N¹⁴ + ₂α⁴ = ₁p¹ + _ZX^А.

 

Суммы массовых чисел и зарядов в левой и правой частях уравнения реакции должны быть равны, т.е. 14+4=1+А, 7+2+1+Z, откуда А=17, Z=8. Следовательно, полученный элемент символически можно записать в виде ₈X¹⁷. Из периодической системы элементов следует, что это изотоп кислорода с массовым числом 17: ₈О¹⁷.

 

 

Пример 9.3. При бомбардировке железа ₂₆Fe⁵⁸ нейтронами образуется β-радиоактивный изотоп марганца с массовым числом 56. Написать реакцию получения искусственного радиоактивного марганца и реакцию его β-распада.

Решение. Порядковый номер марганца в таблице Менделеева равен 25. Поэтому уравнение реакции имеет вид:

 

₂₆Fe⁵⁸ + ₀n¹ = ₂₅Mn⁵⁶ + _ZX^А.

 

По аналогии с предыдущей задачей находим: А = 3, Z = 1. Таким образом, продуктом реакции, кроме марганца, является тритий – изотоп водорода с массовым числом 3. Реакцию можно записать в виде:

 

₂₆Fe⁵⁸ + ₀n¹ = ₂₅Mn⁵⁶ + ₁Н³.

 

Реакция β-распада марганца имеет вид:

 

₂₅Mn⁵⁶ =₂₆Fe⁵⁶ + _-1е⁰.

 

Пример 9.4. Поглощается или выделяется энергия в ядерной реакции:

 

₃Li⁷ + ₂He⁴ = ₅B¹⁰ + ₀n¹ + Q?

 

Решение. Уравнение ядерной реакции, в ходе которой выделяется или поглощается энергия Q, можно условно записать в виде:

 

А + В = С + D + Q.

 

При этом справедлив закон сохранения энергии, записанный в виде:

 

Q = {M_А + M_В - (M_С + M_D)}c².

 

Здесь А и В – ядра, вступающие в реакцию (реагенты), С и D – образовавшиеся в результате реакции продукты. Число продуктов (ядер и других частиц) может быть отличным от двух. Предполагается, что выделившаяся (поглощённая) в ходе реакции энергия Q связана только с увеличением (уменьшением) кинетической энергии ядер. Если реакция экзотермическая, то выделение энергии Q>0, и кинетическая энергия продуктов реакции превышает кинетическую энергию реагентов. В случае эндотермической реакции Q<0, кинетическая энергия реагентов превышает кинетическую энергию продуктов. В частности, если кинетической энергией реагентов можно пренебречь, Q равно суммарной кинетической энергии продуктов.

В формуле для Q можно использовать табличные данные о массах нейтральных атомов, поскольку массы электронных оболочек входят в эту формулу с плюсом и с минусом. Подставляем массы нейтральных атомов, выраженные в а.е.м., а также массу нейтрона в а.е.м. Для ₃Li⁷, ₂He⁴, ₅B¹⁰ и ₀n¹ эти массы соответственно имеют значения: 7,01601; 4,0026; 10,01294 и 1,00865. Вместо c² подставляем 931 . (см. пример 9.1). Получаем:

 

Q= {7,01601 + 4,0026 – (10,01294 + 1,00865)}· 931 = -0,00298·931= -2,77МэВ.

 

Поскольку Q<0, реакция эндотермическая (идёт с поглощением энергии).

 

Пример 9.5. Какая энергия выделяется в термоядерной реакции синтеза дейтерия ₁Н² и трития ₁Н³, если одним из продуктов реакции является ядро гелия ₂Не⁴? Найти энергию, выделяющуюся при синтезе m_D =0,4 г дейтерия и m_Т =0,6 г трития.

Решение. Запишем уравнение реакции:

 

₁Н² + ₁Н³ = ₂Не⁴ + ₀n¹.

 

Из условия сохранения массовых и зарядовых чисел следует, что вторым продуктом реакции является нейтрон.

Энергию, выделяющуюся в реакции, можно найти по аналогии с предыдущей задачей:

 

Q={2,01410 + 3,01605 – (4,0026 + 1,00865)}·931 = 17.6 МэВ.

 

Данная энергия приходится на один акт реакции. Найдём число атомов N в указанных количествах дейтерия и трития, используя формулы из молекулярной физики. При этом учтём, что молярные массы этих изотопов водорода соответственно М_D = 0,002 , М_Т =0,003 . Таким образом:

 

N_D =m_D ; N_Т =m_Т .

 

В этих формулах N_А - число Авогадро. Произведя расчёт, получим, что количества атомов дейтерия и трития одинаковы и равны примерно 1,2 · 10²³. Из уравнения реакции видно, что на каждое ядро дейтерия приходится одно ядро трития, т.е. в реакцию вступают все ядра. Таким образом, в целом выделяется энергия

 

W= 17.6 МэВ ·1,2 · 10²³ = 3,5 · 10¹¹ Дж.

 

Пример 9.6. В реакции ₁Н² + ₁Н² = ₂Не⁴ + γ образующийся γ-квант имеет энергию 19,7 МэВ. Найти скорость α-частицы (₂Не⁴), если кинетической энергией исходных ядер дейтерия можно пренебречь.

Решение. По аналогии с предыдущими задачами найдём энергию, выделяющуюся в реакции:

 

Q = (2 · 2,01410 – 4,00260) · 931 = 23,3 МэВ.

 

Сюда входят энергия γ-кванта и кинетическая энергия α-частицы. Зная энергию γ-кванта, находим, что кинетическая энергия α-частицы

 

Е = 23,3 – 19,7 = 3,6 МэВ = 5,76 · 10^-13 Дж.

 

Учитывая, что Е = , выражаем скорость: v = ()^½. Массу α-частицы можно найти, например, из соотношения m= , где М = 0,004 – молярная масса гелия, N_А – число Авогадро. После расчётов получим: v = 13·10⁶ .

 

Пример 9.7. На покоящееся ядро лития налетает α-частица. Какой минимальной кинетической энергией Е должна обладать α-частица для протекания реакции:

 

₃Li⁷ + ₂He⁴ = ₅B¹⁰ + ₀n¹?

 

Решение. В задаче 9.4 было показано, что данная реакция является эндотермической, и для её протекания необходима энергия Q = 2,8 МэВ. Связать её с кинетической энергией налетающей α-частицы можно, применяя к столкновению частиц модель неупругого удара, при котором часть кинетической энергии налетающей частицы преобразуется во внутреннюю.

Воспользуемся теоремой Кёнинга для системы из двух частиц, одна из которых перед ударом покоится:

 

m₂ = + E_К´.

 

Здесь v₀ – скорость налетающей частицы, E_К´ - кинетическая энергия частиц относительно системы центра масс, m = m₁ +m₂ - масса системы двух частиц, V – скорость центра масс, определяемая по закону сохранения импульса:V=m₂ , где m₂ – масса налетающей частицы. Поскольку величина до и после столкновения не меняется (теорема о движении центра масс при отсутствии внешних сил), максимальная часть кинетической энергии налетающей частицы, которая может перейти во внутреннюю, равна E_К´. Найдём, какую часть δ составляет E_К´ от первоначальной кинетической энергии налетающей частицы:

 

.

 

Здесь m₁ – масса покоящейся частицы, m₂ – масса налетающей частицы.

Учитывая всё сказанное, для рассматриваемой ядерной реакции получим:

 

Q = { }·Е.

 

Выразив отсюда Е и используя относительные атомные единицы массы частиц, получим:

Е = ·Q = 4,4 МэВ.

Это и есть минимальная кинетическая энергия налетающей α-частицы, необходимая для протекания данной ядерной реакции.

 

Пример 9.8. Какова электрическая мощность Р атомной электростанции, расходующей в сутки m = 220 г изотопа ₉₂U²³⁵ и имеющей КПД 25 %? Считать, что при делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q= 200 МэВ.

Решение. Количество распавшихся за сутки (τ = 24 · 3600 с) ядер урана-235 найдём из соотношения: N =m , где М – молярная масса урана-235.

Количество выделившейся за сутки энергии Е = NQ.

Согласно определению коэффициента полезного действия:

 

η = .

 

Здесь Р_затр = . Из этих выражений находим:

 

Р = ηmN_А = 53 МВт.

 

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: