 |
Двумерной случайной величины и её свойства
|
|
|
|
Системы случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2010
Составитель В.А. Бобкова
УДК 519.2
Системы случайных величин: метод. указания для самостоятельн. работы ст-тов / Сост. В. А. Бобкова; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2010-28 с.
Методические указания посвящены одному из разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: системам случайных величин. Дано понятие системы случайных величин, описаны способы задания систем дискретных и непрерывных случайных величин. Рассмотрены понятия зависимости и независимости случайных величин, условные законы распределения, числовые характеристики зависимости. Отдельно рассмотрены системы нормально распределенных случайных величин. Приведены графические иллюстрации и примеры решения задач.
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех направлений подготовки.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент доктор технических наук, профессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
Основные сведения о системах случайных величин
И о способах их задания
Понятие о системе случайных величин
В практических применениях теории вероятностей приходится иметь дело с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими систему или случайный вектор.
Например, успеваемость наудачу взятого студента характеризуется несколькими оценками, полученными им в ходе экзаменационной сессии; на урожайность данной сельскохозяйственной культуры влияют погодные условия, применяемые удобрения, характер почвы, качество посевного материала и так далее.
|
|
|
Случайным вектором (n-мерной случайной величиной, системой n случайных величин) называют упорядоченный набор из n случайных величин (Х1, Х2, …, Хn).
Одномерные случайные величины Х 1, Х 2,…, Х n называются компонентами или составляющими n-мерной случайной величины (Х 1, Х 2,…, Х n). Их можно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора 
в пространстве n измерений.
Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае компоненты этих систем являются дискретными случайными величинами, во втором – непрерывными случайными величинами, в третьем – случайными величинами разных типов.
Рассмотрим сначала наиболее простой случай – систему, состоящую из двух случайных величин (двумерную случайную величину).
Пример: станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y. Имеем двумерную случайную величину (X,Y).
Геометрически двумерную случайную величину (X,Y) можно истолковать либо как случайную точку M(X,Y) на плоскости (то есть как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор ОМ (рис. 1 и рис. 2).
Рис.1. Рис. 2
Функция распределения вероятностей
двумерной случайной величины и её свойства
Универсальной формой задания двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»).
Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств {X<x} и {Y<y}:
. (1)
Геометрическая интерпретация: если двумерную случайную величину (X,Y) рассматривать как случайную точку в прямоугольной декартовой системе координат, то функция распределения F(x,y) есть вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже её (рис.3):
|
|
|
Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распределения
двумерной случайной величины
В аналогичной интерпретации функция распределения первой компоненты X случайного вектора – обозначим её F1(x) – представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой х (рис. 4); функция распределения величины Y – F2(y) – вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой y (рис. 5):
Рис. 4. Геометрическая интерпретация функции распределения первой компоненты F1(x) двумерной случайной величины (X,Y).
Рис. 5. Геометрическая интерпретация функции распределения второй компоненты F2(y) двумерной случайной величины (X,Y).
Пример 1. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X,Y) примет значение X<2, при этом составляющая Y примет значение Y<3, если известна функция распределения системы
Решение: 
Тогда
Ответ: 0,5625.
|
|
|
