 |
Числовые характеристики зависимости (ковариация, корреляция)
|
|
|
|
Основными числовыми характеристиками случайного вектора являются моменты.
Моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют математическое ожидание произведения Xk на Ys:
(42)
Центральным моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют математическое ожидание произведения k-ой и s-ой степени центрированных величин:
(43)
Соответственно суммарному порядку k+s моменты классифицируются на первые, вторые и так далее.
На практике обычно применяют моменты первого и второго порядков. Первые моменты представляют собой математические ожидания величин X и Y:
; 
(44)
Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения случайного вектора (X,Y). Геометрически это координаты некоторой «средней» точки, вокруг которой происходит рассеивание (X,Y).
Вторые несмешанные центральные моменты случайного вектора – это дисперсии величин X и Y:
; 
. (45)
Они характеризуют рассеивание (разброс) случайной точки (X,Y) вокруг центра рассеивания 
.
Особую роль для характеристики случайного вектора играет второй смешанный центральный момент, называемый ковариацией.
Ковариация случайных величин X и Y – это математическое ожидание произведения центрированных величин
= 
(46)
Ковариация характеризует зависимость случайных величин X и Y.
Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то
cov(X,Y)=0. (47)
Доказательство следует из свойств математического ожидания: если случайные величины X и Y независимы, то их отклонения тоже независимы; математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению их математических ожиданий, следовательно,
так как 
.
Таким образом, если 
, то случайные величины X и Y зависимы. В этом случае () их называют коррелированными. Однако из того, что 
, не следует независимость X и Y. В этом случае () случайные величины называют некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно. Другими словами, некоррелированность является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин X и Y.
|
|
|
В качестве примера рассмотрим случайный вектор (X,Y), равномерно распределенный в круге с радиусом 1 и с центром в начале координат и имеющий следующую плотность распределения вероятностей:
Убедимся, что случайные величины X и Y зависимы:
Так как 
, то случайные величины X и Y зависимы.
Вычислим ковариацию этих величин. Сначала найдем математические ожидания: 
так как подынтегральная функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен относительно начала координат. Аналогично получаем, что 
. Тогда ковариация
Таким образом, случайные величины X и Y некоррелированы, но они не являются независимыми.
Ковариация характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеивание вокруг точки . Так, если величина Х очень мало отклоняется от своего математического ожидания, то ковариация будет мала, несмотря на наличие зависимости между X и Y. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеивания) случайных величин X и Y используют безразмерную характеристику – коэффициент корреляции.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют их нормированную ковариацию:
. (48)
Теорема. Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y=aX+b, то коэффициент корреляции:
(49)
При доказательстве этой теоремы используются свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин:
Можно показать, что обратное утверждение также верно.
Возникает вопрос: в каких пределах находится значение коэффициента корреляции? Ответ на него даёт следующее свойство коэффициента корреляции: величина коэффициента корреляции заключена в пределах [-1,1].
|
|
|
Если коэффициент корреляции r(X,Y)>0, то говорят о положительной корреляции случайных величин X и Y; если же r(X,Y)<0, то об их отрицательной корреляции.
Положительная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека связаны положительной корреляцией.
Отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на регулировку прибора, и количество неисправностей, обнаруженных при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией.
В качестве характеристики зависимости системы n случайных величин (n-мерного случайного вектора) используют ковариационную матрицу.
Ковариационная матрица случайного вектора (X1, X2, …, Xn) – это матрица, состоящая из элементов
(50)
Очевидно, что 
, то есть ковариационная матрица симметрична.
По главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин X1, X2, …Xn. При этом, если случайные величины X1, X2, …Xn некоррелированы, то ковариационная матрица имеет диагональный вид:
(51)
|
|
|
