Двумерное нормальное распределение
⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 В теории вероятностей и её приложениях большую роль играет двумерное нормальное распределение. Плотность двумерной нормальной случайной величины (X,Y) имеет вид
Здесь Предположим, что случайные величины X и Y не коррелированы, то есть r=0. Тогда имеем:
Получили, что плотность распределения системы двух случайных величин (X,Y) равна произведению плотностей распределения компонент X и Y, а это значит, что X и Y – независимые случайные величины. Таким образом, доказана следующая теорема: из некоррелированности нормально распределенных случайных величин следует их независимость. Поскольку из независимости любых случайных величин следует их некоррелированность, то можно сделать вывод, что термины «некоррелированные» и «независимые» величины для случая нормального распределения эквивалентны. Приведём формулы для вероятности попадания нормально распределённой двумерной случайной величины в различные области на плоскости. Пусть случайный вектор (X,Y), компоненты которого независимы, распределён по нормальному закону (53). Тогда вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник R, стороны которого параллельны координатным осям, равна
где Пусть плотность распределения нормального закона системы случайных величин (X,Y) задана в виде (52). Ясно, что данная плотность сохраняет постоянное значение на эллипсах:
где С – постоянная; на этом основании такие эллипсы носят название эллипсов равных вероятностей. Можно показать, что вероятность попадания точки (X,Y) внутрь эллипса равной вероятности равна
Пример 10. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены с Решение: Так как случайные величины X и Y независимы, то они не коррелированы и, следовательно, r = 0. Подставляя
то есть эллипс равной вероятности выродился в круг равной вероятности. Тогда Ответ: 0,1242.
3.2. Общий случай n-мерного нормального распределения Плотность нормального распределения системы n случайных величин имеет вид:
где Из общего выражения вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений и для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при n = 2 ковариационная матрица имеет вид:
её определитель
Подставляя Если случайные величины
При n = 2 эта формула принимает вид (53).
3.2. Функции от нормально распределенных случайных величин. Распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера- Снедекора Рассмотрим общий случай: линейную функцию от нормально распределенных аргументов. Пусть дан n-мерный нормально распределенный случайный вектор
Можно показать, что случайная величина Y также распределена нормально с параметрами
где
Пример 11. Записать плотность распределения случайной величины Решение. По условию задачи имеем: n=2; Тогда искомая функция распределения случайной величины Y имеет вид:
Пусть
называется “ распределением ХИ - квадрат с n степенями свободы ”. Плотность распределения ХИ – квадрат с n=2 степенями свободы равна
Плотность ХИ – квадрат распределения с n степенями свободы имеет вид:
где Распределение Стьюдента с n степенями свободы St(n) определяется как распределение случайной величины
где Z – стандартная нормальная величина, независимая от Плотность распределения Стьюдента с n степенями свободы имеет вид:
Математическое ожидание при Распределением Фишера-Снедекора (или F-распределением) с
где Плотность распределения Фишера-Снедекора при
Математическое ожидание при
Распределения ХИ - квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора используются в математической статистике. Список литературы 1. Гмурман В.Е. / Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа”, 1977.
2. Гмурман В.Е. / Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: ”Высшая школа”, 1975. 3. Вентцель Е.С. / Теория вероятностей. – М.: Гос.изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. 4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис-пресс, 2004. Содержание 1. Основные сведения о системах случайных величин и о способах их задания.. 3 1.1. Понятие о системе случайных величин.............................. 3 1.2. Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины и её свойства....................................................... 4 1.3. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.......................................................... 7 1.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины и её свойства........................................... 9 1.5. Система n случайных величин.................................... 13 2. Зависимость и независимость случайных величин....................... 14 2.1. Независимые случайные величины................................. 14 2.2. Условные законы распределения................................... 15 2.3. Числовые характеристики зависимости............................. 19 3. Нормальное распределение системы случайных величин................ 22 3.1. Двумерное нормальное распределение............................. 22 3.2. Общий случай n-мерного нормального распределения................ 24 3.3. Функции от нормально распределенных случайных величин. Распределения ХИ - квадрат, Стьюдента, Фишера - Снедекора................... 25 Список литературы................................................... 27
Составитель Бобкова Вера Александровна
Системы случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Редактор Г.В.Куликова
Подписано в печать 02.03.2010. Формат 60х84 Уч.-изд.л.1,81. Тираж 50 экз.
ГОУ ВПО Ивановский государственный химико-технологический университет
Отпечатано на полиграфическом оборудовании кафедры экономики и финансов ГОУ ВПО «ИГХТУ»
153000, г.Иваново, пр. Ф.Энгельса, 7
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|