Примеры заданий, решаемых на практических занятиях (курсивом выделены задачи повышенной сложности)

ЗАДАНИЕ №1

1. Найти среднее по времени значение тензора E_a(t)B_b(t-t) для электромагнитной волны с левой круговой поляризацией в вакууме. Амплитуда волны E, волновый вектор k, и фаза запаздывания f=kct, заданы. Как изменится ответ для линейно поляризованной волны?

2. Найти диэлектрическую проницаемость однородного электролита с положительными (s=1) и отрицательными (s=2) ионами, если известно, что плотность потока частиц сорта s имеет вид f ^s=n^sb^sq^s E -D^s Ñ n^s, где q^s- заряд, b^s- подвижность, D^s - коэффициент диффузии, n^s- концентрация ионов, причём отношение D^s/b^s=kT зависит только от температуры. Найти поле неподвижного точечного заряда в такой среде. Указание: можно воспользоваться диэлектрической проницаемостью и решением задачи 8 из [4] или найти стационарное распределение плотности ионов вблизи стороннего заряда и решить задачу электростатики).

3. Плоская монохроматическая электромагнитная волна с круговой поляризацией падает по нормали на плоскую поверхность одноосного кристалла с диэлектрической проницаемостью e_ab=2. 25d_ab+9. 75h_a h_b. Под каким углом к нормали направлена ось кристалла h, если известно, что отражённая волна имеет эллиптическую поляризацию с отношением осей 17: 35?

ЗАДАНИЕ №2

4. Пучок линейно поляризованного света с частотой w входит в водный раствор сахара, который вращает плоскость поляризации с постоянной a=30 град/см . После прохождения в растворе расстояния L=100 см из-за разницы в поглощении свет стал эллиптически поляризованным с отношением осей равным 3. Какой будет поляризация, когда свет пройдет ещё такое же расстояние?

5. Во внешнем электрическом поле изотропная среда приобретает оптические свойства одноосного кристалла (эффект Керра), причём тензор диэлектрической проницаемости имеет вид e_ab=ed_ab+aE_aE_b. Вычислить константу a для воды, если после прохождения через кювету длины L=75см, помещенную в поперечное поле E=30 кВ/см, линейно поляризованный свет с длиной волны l=5000A приобрёл круговую поляризацию. Указать ориентацию поляризации исходной волны относительно внешнего электрического поля.

6. В некоторой среде плотность тока связана с напряженностью электрического поля соотношением j ( r, t)=ò ₀^¥ s(t) E ( r, t-t)dt. Можно ли утверждать, (1) что эта среда изотропная, (2) обладает пространственной и (3) частотной дисперсией? Найти функцию отклика s(t) для газа осцилляторов, если известен его тензор диэлектрической проницаемости e_ab(w)= [1-w_p²/(w²+2igw-w₀²)]d_ab, где w_p, g, w₀ - константы, причем g< < w₀, d_ab - единичная матрица. Чему равна магнитная проницаемость такой среды при низких частотах?

7. Электрон летит в одноосном кристалле в направлении оптической оси. Найти угловой размер конуса, в котором сосредоточено черенковское излучение. Скорость электрона равна v; элементы тензора диэлектрической проницаемости e_||(w), e_^(w) являются известными функциями частоты. Найти спектральную мощность черенковского излучения электрона (мощность излучения на единичный интервал частот).

ЗАДАНИЕ №3

8. Шарик радиуса a, находящийся в идеальной несжимаемой жидкости на расстоянии l > > a от твёрдой стенки, движется с постоянной скоростью вдоль неё. Найти распределение давления по поверхности стенки с точностью до слагаемых второго порядка по малому отношению a³/l³. Плотность жидкости r.

9. Звуковая волна падает из воздуха на поверхность реки под углом a к нормали. Под каким углом к нормали пойдет преломленная волна? Скорости звука в воздухе c₁ и воде c₂ известны. Вектор скорости реки u лежит в плоскости падения волны.

10. По какой траектории движется элемент жидкости в бегущей и стоячей гравитационной волне?

11. Вертикальная трубка радиуса R заполнена вязкой жидкостью с плотностью r и находится в поле тяжести. На оси трубки помещён длинный невесомый цилиндр радиуса r< R, так что R-r < < R, R < < L, где L - длина цилиндра. Найти коэффициент вязкости жидкости h, если скорость всплывания цилиндра равна u.

12. Найти стационарное распределение температуры T(r) вязкой жидкости в задаче о стекании слоя по наклонной плоскости в поле тяжести. Верхняя граница жидкости – свободная. Температура наклонной плоскости T₀ поддерживается постоянной, угол её наклона к горизонту α . Известны коэффициент кинематической вязкости жидкости n, теплоёмкость при постоянном давлении c_p, коэффициент температуропроводности c, плотность r. Толщина слоя жидкости равна h.

ЗАДАНИЕ №4

13. Между двумя плоскими параллельными жесткими пластинами вставлен длинный брусок с исходным сечением d₁ ´ d₂. Какую минимальную силу необходимо приложить к краю бруска, чтобы вытянуть брусок из канала (в направлении длинной стороны), если коэффициент трения его боковой поверхности (d₁) о поверхность канала равен k (k < < 1), а длина бруска L > > d₁, d₂? Зазор между пластинами равен a, причем a < d₂. Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона s бруска заданы. Указание: Считать, что до приложения вытягивающей силы в бруске не было продольных напряжений. Найти, какие компоненты тензора деформации не изменяются при ``включении'' вытягивающей силы. Воспользоваться уравнением равновесия тела. Значение комбинации параметров s kl/a произвольно.

14. Упругий кубик с ребром a в одном направлении ограничен жесткими плоскостями с зазором а, в другом направлении сжимается давлением p, а в третьем может свободно расширяться. Трения нет. Упругие свойства кубика известны. Найти все компоненты тензоров деформации и напряжения.

15. Прямая вертикальная опора с длиной L и сечением a ´ a жестко закреплена в основании. Найти максимальный вес, который она может удерживать, если её модуль Юнга равен E.

Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).