Гуманитарные подходы к изучению нумерации чисел

Богатые возможности для реализации гуманитарного подхода к обучению математике содержит в себе учебный материал темы «Нумерация чисел», в которой изложены сведения об обозначении чисел в речи и на письме. Эти сведения изучаются при работе по любым программам. (В математике сведения о принципах и правилах записи и чтения чисел, правилах выполнения арифметических действий с числами, записанными определенным образом, составляют содержание раздела «Системы счисления»).

Традиционно изучение системы записи и чтения чисел в начальной школе сводится к обучению детей записывать и по записи читать числа в десятичной системе. Десятичная система, десятичная запись при этом воспринимаются как единственно возможные. Чаще всего дети и не подозревают о том, что существуют и другие системы записи, системы обозначения чисел, что десятичная система - результат многовековой работы мысли человечества над решением проблемы: как бесконечное множество чисел записать конечным числом знаков так, чтобы запись легко читалась и облегчала сравнение чисел и выполнение действий с ними. Воспринимая действующую систему записи и чтения чисел как нечто абсолютное и неизменное, дети не отделяют содержание записи от самой записи, содержание и смысл понятия числа от формы обозначения его в речи и на письме. Последнее же значительно затрудняет понимание и освоение как понятия числа, так и способов, и форм его обозначения.

В настоящее время в некоторых экспериментальных курсах сделаны попытки преодолеть отмеченные недостатки традиционного обучения. Наиболее полно вопросы обозначения чисел представлены в программах и учебниках, разработанных на основе концепции развивающего обучения В. В. Давыдова. Однако рассмотрение их полностью подчинено идее построения теории числа на основе понятия величины. Необходимость строить и изучение систем записи на основе этой теории мешает авторам показать проблему обозначения чисел всесторонне. Представленный в этих программах и учебниках подход в силу той же необходимости не может быть применен вне системы изучения чисел на основе понятия величины. Кроме того, и в этой системе не раскрывается и не ставится названная выше проблема, приведшая к созданию позиционных систем счисления и, в частности десятичной (хотя многое и сделано в этом направлении).

Изложим суть подхода, который, как показывает многолетняя опытная проверка, вполне доступен каждому учителю. Основу его составляют осознание детьми общей проблемы обозначения знаний и проблемы обозначения чисел; осознание гуманитарных, общекультурных аспектов знания о числе и способах его обозначения.

Числовые представления возникают у детей задолго до их поступления в школу. Слова-обозначения чисел приходят в жизнь ребенка из жизни взрослых и приобретают абстрактный смысл по мере накопления конкретных смыслов (два яблока, два пальца, две руки, две тысячи рублей, два шага, два метра, две куклы, две машины, два литра; один, два, три, и т. п.). Уровень, характер, содержание, степень осознанности этих представлений у разных детей различны и зависят как от обстоятельств их жизни, так и от индивидуальных особенностей. Представления об обозначении чисел в речи первоначально неразрывно связаны с числовыми представлениями, неотделимы от них.

При изучении чисел, на наш взгляд, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам — признакам, свойствам, а также конструирование способов обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

Количественное сравнение предметов и групп предметов может проводиться на двух уровнях:

- установление отношений «больше», «меньше» или «столько же»;

- установление кратного отношения «сколько раз» без использования мерки-посредника и с ее применением.

Количественное сравнение проводится после установления общего качества - признака, по которому возможно количественное сравнение. Например, книгу и тетрадь можно количественно сравнивать по длине каких-либо сторон, по массе, по объему, по числу страниц, по стоимости, по площади каких-либо поверхностей, по площади общей суммарной поверхности каждого предмета. Несколько кружков и несколько квадратов количественно можно сравнивать по длине составленных из них рядов, по ограничиваемой ими площади поверхности, по количеству отдельных предметов в группах (по количеству «штук» кружков и квадратов), по массе, по объему.

Уже при установлении отношений «больше», «меньше» или «столько же» («равно») полезно поставить перед детьми проблему обозначения результатов сравнения: «Мы вчера с вами сравнивали (по количеству «штук»), чего в этой коробке больше: квадратов или треугольников. Но я не помню результат. Плохо, что мы вчера никак не записали, никак не обозначили его. Придется заново сравнивать. Как бы вы предложили обозначить, записать, что квадратов меньше, чем треугольников?» Полезно сравнить различные способы выражения результатов сравнения — в слове, в предметных действиях, в графических знаках. При выполнении заданий на сравнение необходимо обращать внимание детей на то, что сказал, сообщил, показал, изобразил ученик, чтобы мы узнали результаты сравниваемых им предметов (групп предметов); как он сказал, показал, изобразил — с помощью каких слов, жестов, движений, действий с предметами, рисунков, письменных (графических) знаков; насколько точно, понятно удалось ему сообщить то, что он хотел; все ли одинаково его поняли.

Действенным средством осознания различий между содержанием знания и способом его выражения, осознания роли способа выражения в овладении этим знанием является отыскание детьми различных способов выражения одного и того же знания, различных способов его обозначения в речи, в предметных действиях, на письме. Покажем, как это средство может быть использовано при формировании понятия числа.

Например, учащимся предлагаем сравнить две группы предметов, пересчитать которые они еще не в состоянии. С помощью составления пар дети устанавливают, что в обеих группах предметов поровну (по количеству отдельных предметов, «штук»). Учитель предлагает обозначить количество отдельных предметов в одной из групп каким-либо словом, рисунком, графическим знаком (произвольным), какой-либо буквой. Принимается несколько предложений ребят. Слова, рисунки, знаки, буквы выносятся на доску (пять-шесть предложенных детьми вариантов). Затем учитель спрашивает:

- Они знают, что этих предметов столько же, сколько этих (показывает вначале первую, обозначенную группу, затем вторую). Количество этих предметов мы обозначили так... (показывает первый набор обозначений, предложенный детьми). Как же обозначить количество этих предметов (показывает другую группу предметов)?

Не было еще случая, чтобы дети не догадались, что для обозначения одинакового количества целесообразно использовать одинаковые обозначения.

- Почему по этим обозначениям можно сразу же догадаться, что предметов поровну?

Затем они демонстрируют еще одну группу предметов, подобранную им так, что предметов в этой группе столько же, сколько их в каждой из ранее рассмотренных.

Нам известно, что из этих предметов столько же, сколько и этих (показывает на одну из ранее рассмотренных групп). Кто не верит, может проверить, составив пары. Обозначьте их количество словом, рисунком, знаком так, чтобы сразу было ясно, что их столько же, сколько и этих предметов (показывает на одну из ранее рассмотренных групп).

Объясните, почему вы обозначили так? (Если количество этих предметов обозначено так то и количество этих предметов, поскольку их столько же, обозначу тем же словом, знаком, рисунком, буквой.)

- А теперь сосчитайте (посчитаем вместе) количество отдельных предметов в каждой группе.... Как принято в математике обозначать это количество? (Словами — числительными, знаком — соответствующей цифрой или цифрами, рисунком, например точечным).

- Значит, придуманные нами слова, знаки — это «заменители» названий, обозначений чисел. И мы могли бы ими пользоваться точно так же, как соответствующим названием и обозначением числа. (Например: вместо слова «семь» и цифры «7» мы могли бы говорить «блям» и писать «я».) И все было бы хорошо. Правда, нас не поняли бы те, кто не был на сегодняшнем нашем уроке.

Рассмотрение разных способов обозначения результатов количественного сравнения (в том числе и приводящего к появлению числа), их сопоставление, обсуждение достоинств и недостатков, обнаружение этих достоинств и недостатков при попытках использовать придуманные детьми обозначения чисел создают ту атмосферу осознания единства и различий смысла и знака, означаемого и означающего, которая в дальнейшем позволяет обсуждать и другие проблемы познания, проблемы хранения и передачи знания одним человеком другому, одним поколением другому.