Выполнения отдельных этапов задания 1. 1

1.1.1. Основные определения. Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического то­ка, электромагнитные про­цессы в которых могут быть опи­саны с по­мощью по­нятий об электродвижущей силе, электрическом то­­ке и электрическом напряжении.

Электрический ток - это явление направленного движе­ния свободных носителей электрического заряда q в веществе или в пус­то­те, количественно характеризуемое скалярной величиной, равной производной по времени от электрического заряда, переносимого свободными носителями заряда сквозь рассматриваемую повер­­х­ность, т.е.

                                                 (1.1)

Из выражения (1.1) получают едини­цу тока

[ I ] = [ q ]/[ t ] = Кл/c = A × c /c = A (ампер).

Постоянный электрический ток (в дальнейшем ток) – это неизмен­ное и однонаправленное движение заряжен­ных частиц (зарядов). При постоянном токе в тече­ние каждого одинакового про­межутка времени D t переносится одинако­вый заряд D q. Поэтому ток I = q / t, где q - весь заряд (Кл) за время t (с).

Условное положительное направление тока I во внешней (от источника энергии) цепи противоположно направлению дви­­жения потока электронов (элек­­трон – частица, обладающая наименьшим отрицательным зарядом (q_e = -1,602×10^-19 Кл, тогда 1 Кл = 6,24×10¹⁸ электронов), т. е. он протекает от точ­ки а с большим потен­ци­а­лом к точке b с меньшим потенциалом, вы­зывая падение напря­жения (в дальнейшем напряжение) на сопро­тив­лении этого участка

U_ab = j _а – j _b.                                                    (1.2)

Э лектрическое напряжение – это работа, затрачиваемая на перенос единицы заряда (1 Кл) из точки а в точку b электрическогополя по произволь­ному пути. Однозначно определяют только разность потенциалов (напряже­ние) между соответству­ю­щи­ми точками. Когда говорят о потенциале точки элек­трической цепи, то подразумевают разность потенциалов между этой точкой и другой (обычно зазем­лён­ной), потенциал которой принимают равным нулю.

Электродвижущая сила E (в даль­нейшем ЭДС E в вольтах) источника энергии численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), за­тра­чи­­ваемой сторонним и индуктированным электрическими полями на перемещение единицы заряда (1 Кл) из одной точки поля в другую.

1.1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:

· источников энергии (активныхэлементов), преобразующих различные виды энергии в электрическую. Это генераторы электрических стан­­ций, аккумуля­торные и солнечные батареи, термопары и др.;

· приёмников электрической энергии (пассивныхэлементов), в которых электрическая энергия преобразуется в другие виды: тепловую (нагревательные элементы), механическую (электрические двигатели), световую (люминесцентные лампы), химическую (гальванические ванны) и др.;

· вспомогательных элементов (проводов, выключателей, предохранителей, ре­­зи­стивных регуляторов тока, измерительных приборов, разъёмов и др.).

Электрические цепи принято изображать в виде электрических схем: принципиальных, монтажных, схем замещения и др.

Схема электрической цепи  – это её графическое изображение, содержащее ус­­ловные обозначения элементов цепи и показываю­щее соединения этих элементов.

При анализе электрических цепей их заменяют схемами замещения. Схема замещения   электрической цепи – это её расчётно-математическая модель, содержащая иде­альные пассивные (резистивные, индуктивные и ёмкостные) и активные (источники напряжения и источники тока) элементы. Элементом электрической цепи на­зывают отдельное устройство, вы­пол­няющее в цепи определённую фун­к­­цию Эти элементы являются эквивалентами (моделями) реальных устройств цепи, которым теоретически припи­сывают опре­де­лён­ные электрические и магнитные свой­ства, отражающие главные (доми­ни­ру­ющие) процессы в элементах цепи.

Пассивными называют элементы электрической цепи, которые не способны генериро­вать элек­три­че­скую энергию. К пассивным элементам относят резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы (табл. 1.1.1).

Резистор – это пассивный элемент элек­­­трической цепи, предназна­чен­ный для ис­пользования его электрического сопротивления R. Резистор не мо­жет на­капливать энергию: полученная им электрическая энергия необратимопреобразовывается в нёмв тепло­вую энергию.

                           Т а б л и ц а 1.1.1. Пассивные элементы цепей и их характеристики

Пассивный элемент	Условное графическое обозначение	Основной  параметр	Единица измерения	Уравнения  элемента
Резистор	10  4     (j a  > jb)   R b а Uab   I	Сопротив- ление R	Ом  (кОм, МОм)	, Ом , В , Вт
Индуктивная катушка	eL 1,5-3  u L  iL       L	Индуктивность L	Гн (мГн, мкГн, нГн)	uL»– eL =  или   iL =
Конденсатор	8 1,5 uC C iC	Емкость С	Ф (мФ, мкФ, нФ, пФ)	или

 Индуктивная катушка – это пассивный элемент цепи, предназначен­ный для ис­­пользования его собственной индуктивности L и/или его магнитного поля. При нара­стании тока в индуктивной катушке происходит преобразо­вание электрической энергии в магнитную и её накопление в магнитном поле катушки, а при убывании тока – обратное преобразование энергии магнитного поля в электрическую энергию, возвращаемую источнику.

Конденсатор – это пассивный эле­­мент цепи, предназначенный для ис­­­поль­зо­ва­ния его электрической ёмкости С. При нарастании напряжения на зажимах конден­сатора в нём происходит преобразование электрической энергии внешнего источника в энергию электрического поля за счёт накоп­ле­ния зарядов противоположных знаков на двух его электродах (пластинах). При уменьшении напряжения происхо­дит обратное преоб­разова­ние энергии электрического поля в электри­ческую энергию, возвращаемую источнику.

Активные элементы - это источники электрической энергии (аккумуляторы, генераторы и др.). Различают:источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ) в зависимости от их внутреннего сопротивления (табл. 1.1.2). В источнике напряжения внутреннее сопротивление R _вт значительно меньше сопротивления R нагрузки (в иде­альном ИН R _вт = 0), а в источнике тока R _вт значительно больше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИТ R _вт = ¥), а проводимость (в сименсах)

G _вт = 1/ R _вт << G = 1/ R.

Т а б л и ц а 1.1.2. Активные элементы цепей и их характеристики

Активный элемент	Схема источника энергии и его график внешней    характеристики (ВАХ) U = f (I)	Уравнение ВАХ
Источник напряжения (ИН)	I I 2 (-) R вт + 1 (+) R U U 12 U н E ИН R вт I I н I к I,А  0 U, В E 3 1 2	В,
Источник тока    (ИТ)	I, A I вт G вт U U 12 I 0          I н J   2 ИT  I вт   U н   J 1 3 U, В I 2 1 U R	, J – ток ИТ, G вт = 1/ R вт
П р и м е ч а н и е: 1 – ВАХ идеализированных источников энергии; 2 – ВАХ реальных             источников; 3 – ВАХ идеальных источников энергии

1.1.3. Топологические параметры схем цепей. При анализе электрических схем пользуются следующими тополо­гическими параметрами схем:

· ветвь (В) - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же электрический ток;

· узел (У) - место соединения ветвей электрической цепи. Обычно место, где соединены две ветви, называют не узлом, а соединением (или уст­ранимым узлом), а узел соединяет не менее трёх ветвей;

· контур - последовательность ветвей электрической цепи, образующая замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз. В элек­­трической цепи вы­де­ляют линейно не­зависимые контуры k _н, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. Число независимых контуров зависит от числа ветвей В и числа уз­лов У в цепи:

k _н = В – (У – 1).                                               (1.3)

Так, в схеме электрической цепи (рис. 11.1) ветвей В = 5, узлов У = 3, соединений 2, независимых контуров k _н = 3.

П р и м е ч а н и я.

1. Точки 5, 6, 7 и 8 имеют одинаковый электрический по­тен­­ци­ал, поэтому они могут быть геометрически объединены в одну общую точку - узел.

2. Точки 1 и 4 соединяют по два элемента, поэтому их называют точ­ками соединений двух элементов, а не узлами.

5               6                7                    8

1                 2                3                 4

R 1                    R 3                  R 5

R 2                   R 4

Е 2

Рис. 1.1.1. Схема электрической цепи

Е 1

   1.1.4. Задача расчёта цепи. Расчёт электрической цепи заключается в опи­са­нии её схемы за­мещения математическими уравнениями и в решении си­стемы уравнений относительно электрических величин. Теория электрических и магнитных цепей базируется на введении па­раметров отдельных участков цепи, из которых основными являются сопро­тивления, индуктивности и ёмкости. Помимо этих параметров, вводят в рассмотрение еще множество других (например, маг­нитное сопротивление маг­нитной цепи, реактивные сопротивления и проводимости цепи переменного тока, и др.), находящихся в известной связи с ними или имеющих самостоятельное значение.

Задачей расчёта электрической цепи является, в первую очередь, оп­ре­де­ление токов и напряжений ветвей при заданных значениях параметров активных и пассивных элементов схемы цепи.

Для расчёта электрических цепей (точнее, их схем замещения) раз­работано несколько методов, наиболее общими из которых являются метод непосредственного применения законов Кирхгофа, ме­тод узловых напряжений, метод переменных состояния, метод контурных токов.

П р и м е ч а н и е. Понятия «электрическая цепь» и «схема электрической це­пи» часто отождествляют.

1.1.5. Законы Ома и Кирхгофа. Решение задач анализа электромаг­ни­т­ных процессов в известной схеме электрической цепи с заданными параметрами источников энергии и резистивных элементов базируется на применении закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа, которые записывают соответственно для ветвей, узлов и контуров (табл. 1.1.3).

Закон Ома устанавливает зависимость между током и на­пря­жением на пассивной ветви при совпадении направлений тока и напряжения на ней. (см. табл. П1.3, вторая строка). Для ветви с источниками напряжения используют обоб­щенный закон Ома: (см. табл. П1.3, третья строка). Знак плюс перед ЭДС E и напряжением U ₁₂ записывают при совпадении их направлений с условно положительным направлением тока I и знак минус - при не совпадении их направлений с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) записывают для узлов электрической схемы (см. табл. П1.3, четвертая строка). Закон формулируется следующим образом: алгебраическаясумма токов в любом узле схемы цепи равна нулю. При этом токи, направленные к узлу, при­­нято записывать со знаком плюс, а уходящие от уз­ла, со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) применяется к контурам электрической цепи (см. табл. П1.3, пятая строка) и формулируется следующим образом: в лю­бом контуре схемы алгебраическая сумма ЭДС равна ал­ге­браической сум­ме напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур. При этом ЭДС и напряжения на элементах контура за­писывают со знаком плюс, если выбран­ное нап­равление обхода контура (например, по ходу часовой стрелки) совпадает с направлением напряжений (токов) на этих элементах, и со знаком минус при несовпадении.

                              Таблица 1.1.3. Топологические параметры схем цепей и их описание

Топологический параметр схемы	Участок схемы	Основание для составления уравнения	Выражение        закона
Пассивная ветвь	U 12 1 2  R 1	Закон Ома
Ветвь с источниками напря­жения	1 E 1 R 1 2 R 2 Е 2 I U 12	Обобщенный закон Ома
Узел	I 1   J  k I 2 I 3	Первый закон Кирхгофа (1ЗК)	å Ik = 0, I 1 - J - I 2 - I 3 = 0
Контур	I 1       Е 2 Е 3 I 2 I 3 R 1 R 3 R 2 U 12 1 2	Второй закон Кирхгофа (2ЗК)	å E k = å U k, E 2 - E 3= R 1 I 1 +   + R 2 I 2- R 3 I 3 - U 12

1.6. Метод расчёта, основанный на законах Кирхгофа. Анализ и расчёт лю­бой электрической цепи постоянного тока можно провести в результате совместного решения системы уравнений, составленных посредством первого и второго законов Кирхгофа. Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи (N _МЗК = В), при этомчисло независимых уравнений, которые можно запи­сать по 1ЗК, на од­но уравнение меньше числа узлов, т. е.

N _1ЗК = У - 1,                                                     (1.4) 

а число независи­мых уравнений, записываемых по 2ЗК,

N _2ЗК = B - (У - 1),                                               (1.5)

где В - число ветвей с неизвестными токами (без ветвей с источниками тока); У - чи­сло узлов.

Составим посредством законов Кирхгофа необходи­мое число уравнений для определения токов ветвей схемы (рис. 1.1.2), если заданы ЭДС E ₁ и E ₂ источников напряжения, ток J источника тока и соп­ротивления R ₁,…, R ₅ резисторов.

N _МЗК = N _1ЗК + N _2ЗК = В.

С этой целью:

1. Проведём топологический анализ схемы для определения числа независимых урав­­нений. В схеме B ₁ = 6 вет­вей, У = 3 узла. Од­нако в ветви с ИТ ток J задан, поэтому число независимых ветвей В = 5. Число независимых урав­нений для решения задачи по методу законов Кирхгофа

N _МЗК = В = 5.

Рис. 1.1.2

2. Пронумеруем узлы и выберем произвольно направления токов в вет­вях (рис. 1.1.3).

Рис. 1.1.3

3. Составим уравнения по 1ЗК (N _1ЗК = У - 1 = 3 - 1 = 2):

для узла 1: I ₁ - I ₂ - J - I ₃ = 0,                                          (1)

для узла 2:   I ₃ - I ₄ + I ₅ = 0.                                                (2)

4. Выберем независимые кон­ту­ры и направление обхода контуров, на­при­­мер, по ходу часовой стре­лки. В на­шем случае имеется три независимых контура, так как ветвь с заданным током J ИТ в уравнениях, составляемых по2ЗК, не учитывается:

N _2ЗК = B - (У - 1) = 5 – (3 – 1) = 3.

5. Составим три уравнения по 2ЗК:

для контура 1'-1-0-1': E ₁ = R ₁ I ₁ + R ₂ I ₂,                                     (3)

для контура 1-2-0-1: 0 = R ₃ I ₃ + R ₄ I ₄ - R ₂ I ₂,                             (4)

для контура 2-2'-0-2: - E ₂ = - R ₅ I ₅ - R ₄ I ₄ .                                 (5)

6. Решив систему уравнений (1)…(5), например, методом Гаусса или с использованием формул Крамера можно определить все неизвестные токи ветвей цепи.

1.1.7. Структурные преобразования схем замещения цепей. Расчёт элек­трических цепей можно упростить путём преобразованияих схем замещения в более простые и удобные для расчёта. Такие преобразования приводят, как пра­вило, к уменьшению числа узлов схемы и, следовательно, необходимого числа исходных уравнений для расчёта.

Так, ветвь с последовательно соединёнными резисторами R ₁, R ₂, …, R_n может быть преобразована в простую схему с одним резистивным эле­ментом (рис. 1.1.4 а), эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений:

                                               (1.6)

а ветвь с несколькими последовательно соединёнными источниками напряжения и резисторами (рис. 1.1.4 б) также может быть преобра­зована в ветвь с одним эквивалентным ИН с параметрами R _э и Е _э (рис. 1.1.4 в):

и                                (1.7)

1

б)

R 1

а)

в)

Рис. 1.1.4

1

2

R э

R 1

R 2

R n

1

2

R 2

R 3

R э

E 1

E 2

E 3

E э

1

2

2

2

U

Рис. 1.1.5

R 1

R 2

U

G э

а)

б)

1

2

R n

1

I 1

I n

I 2

I

I

Параллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R ₁, R ₂,…, R_n (рис. 1.1.5 а) можно заменить одним резистором с проводимостью G _э (рис. 1.1.5 б).

Так как напряжение на всех ветвях одно и тоже, равное U, то токи ветвей

где ,  - проводимости ветвей в сименсах.

В схеме с двумя узлами 1 и 2 (см. рис. 1.1.5 а) ток на входе цепи

а эквивалентная про­водимость и эквивалентное сопротивление пассивного участка цепи между узлами 1 и 2 равны

и   .                             (1.8)

Электрические схемы, имеющие сочетание последовательного и параллельного соединений участков цепи (смешанное соединение), могут быть преобразованы в более простые эквивалентные схемы путём замены параллельных ветвей одной ветвью, а последовательно соединённые участки цепи – одним участком. Так, например, для схемы рис. 1.1.6 а вначале нужно найти эквивалентное сопротивление параллельного участка 2 - 3 с тремя параллельно включенными резисторами

 ,                                        (1.9)

3

2

U

Рис. 1.1.6

R 2

R 1

R 3

U

R 1

U

R 1-4

R 2-4

а)

б)

в)

1

2

3

R 4

1

1

3

а затем сложить его с сопротивлением R ₁ (рис. 1.1.6 б, в):

В электрических цепях элементы могут быть соединены по схеме треугольник или по схеме звезда (рис. 1.1.7). Треугольником называют соединение трёх элементов, в котором конец первого элемента со­еди­нён с началом вто­рого, конец второго с началом третьего, а конец тре­тьего с началом первого (рис. 1.1.7 а). Звездой называют соединение, в котором кон­­цы трёх элементов со­единены в одну общую точ­ку п (рис.

Рис. 1.1.7

б)

1

2

I 2

R 3

R 1

R 2

3

I 3

I 1

I 1

а)

1

2

3

I 2

I 3

R 12

R 23

R 31

n

1.1.7 б).

С целью уменьшения числа узлов в схеме цепи соединения элементов треугольни­ком преобразуют в эквивалентное соединение звездой посредством сле­­­ду­ющих формул:

  , ,          (1.10)

т. е.сопротивление луча эквивалентной звезды равно дроби, в числителе которой произведение двух сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к рассматриваемому узлу, делённому на сумму всех сопротивлений сторон треугольника.

1.1.8. Правило делителя напряжения. В ветви, состоящей их двух после­дова­те­льно соединённых резисторов (рис. 1.1.8 а),напряжение на одном из резисторов равно при­ложенному к ветви напряжению, умноженному на сопротивление данного резистора и делённому на сумму сопротивлений обоих резисторов, т. е.

U

б)

R 1

R 2

а)

U 1

U 2

I 2

R 2

I 1

U

Рис. 1.1.8

R 1

I 1

  и                                      (1.11)

1.1.9. Правило делителя тока. Для цепи с двумя параллельно соеди­нёнными резисторами (рис. 1.1.8 б) ток одной из двух параллельных ветвей цепи равен подходящему к разветвлению току I, ум­ноженному на сопро­тивление другой (противоположной) ве­тви и делён­ному на сумму соп­ротивлений обеих ветвей, т.е.

       и                                          (1.12)

1.1.10. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений (МУН) базируется на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В нём за вспомогательные расчётные величины принимают так называемые узловые напряжения U _{k 0} - напряжения между каждым k -м узлом схемы и выбранным базисным узлом (его будем обозначать цифрой 0), потенциал которого принимают равным нулю. Число уравнений для расчёта схемы по МУН

  N _МУН = У - 1.                                                       (1.13)

Для каждого узла, кроме базисного, составляют уравнение по 1ЗК. В полученных уравнениях токи ветвей, присоединённых к базисному узлу, выражают через узловые напряжения и проводимости посредством обобщённого закона Ома:

                                      (1.14)

где G _k = 1/ R _k - проводимость k -й ветви.

Токв ветви, подключённой к узлам k и j,

   = (E_kj - U _{k 0} + U _{j 0}) G _kj,                                (1.15)

где U _kj = U _{k 0} - U _{j 0} – межузловое напряжение; G _kj = 1 /R _kj - меж­узловая про­водимость.

После группирования членов при соответствующих узловых напряжениях и переноса E _k G _k и токов J _k источников тока в правую часть, получают систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.

Структура каждого уравнения одинаковая, например, уравнение относительно узла 1:

G ₁₁ U ₁₀- G ₁₂ U ₂₀- ... - G _{1 n} U_{n 0} = +                       (1.16)

где G ₁₁ = G ₁ + G ₂ +... + G _n - собственная проводимость узла1, равная сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу 1 (проводимости ветвей с ИТ не учитываются, так как G _j = 1/ R _j = 0 (R _j = ¥)); G ₁₂,..., G _{1 n} – меж­узловые проводимости; +  - узловой ток узла 1;  - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу 1, на проводимости этих ветвей, причём со знаком плюс (минус) записывают произведения, если ЭДС направлена к узлу 1 (от узла 1);  - алгебраическая сумма токов источников тока ветвей, подключённых к узлу 1, причём токи J_k записывают со знаком плюс (минус), если они направлены к узлу 1 (от узла 1).

Решив систему уравнений относительно узловых напряжений, определяют межузловые напряжения и токи ветвей посредством соотношений (1.14) и (1.15).

Пример 1.1.1. Пользуясь методом узловых напряжений, определить токи ветвей схе­мы (рис. 1.1.9), если E ₁ = 12В, E ₅ = 15В, J = 2А, R ₁ = 1 Ом, R ₂ = 5 Ом, R ₃ = R ₄ = 10Ом, R ₅ = 1 Ом. В схеме 6 ветвей и 3 узла.

Решение. 1. Выбираем базисный узел 0 и направления узловых напряжений U ₁₀ и U ₂₀ от узлов 1 и 2 к базисному (см. рис. 1.1.9).

2. Составляем (N _МУН = У - 1 = 3 - 1 = 2) уравнения по МУН:

 для узла 1: G ₁₁ U ₁₀- G ₁₂ U ₂₀= E ₁ G ₁ - J,

для узла 2: - G ₂₁ U ₁₀ + G ₂₂ U ₂₀ = E ₅ G ₅,

где G ₁₁ = G ₁ + G ₂ + G ₃, G ₁₂ = G ₃ = 1/ R ₃,  G ₂₂ = G ₃ + G ₄ + G ₅,  G ₂₁ = G ₁₂ = G ₃.

3. После подстановки числовых значений (G ₁ = 1/ R ₁ = 1 См, G ₂ = 0,2 См, G ₃ = G ₄= 0,1 См, G ₅ = 1 См) имеем:

1,3 U ₁₀ - 0,1 U ₂₀ = 12 - 2 = 10,

- 0,1 U ₁₀ + 1,2 U ₂₀ = 15.

4. Воспользовавшись форму­­лами Крамера, находим узловые нап­ря­жения:

Примечание. Вычисление узловых напряжений нужно проводить с большой точностью. В данном примере достаточно округлить четвёртый знак после запятой.

5. Межузловое напряжение

U ₁₂ = U ₁₀ - U ₂₀ = 8,7097 - 13,226 = - 4,5163 B.

6. Искомые токи ветвей (см. выбранные направления токов ветвей на рис. П1.9):

                   I ₁ = (E ₁ - U ₁₀) G ₁ = 3,29 A,      I ₂ = U ₁₀ G ₂ = 1,754 A,

                    I ₃ = U ₁₂ G ₃ = - 0,452 A,      I ₄ = U ₂₀ G ₄ = 1,323 A,

                    I ₅ = (- E ₅ + U ₂₀) G ₅ = -1,774 A.

7. Проверим результаты расчёта токов. Согласно 1ЗК для узла 2:

= I ₃ - I ₄ - I ₅ = - 0,452 - 1,323 + 1,774 = 0.

1.1.11. Метод двух узлов. Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений и применяется для расчёта схем, содержащих (после преобразования) два узла и произвольное число параллельных пассивных и активных ветвей. Для расчёта токов ветвей цепи составляют и решают одно уравнение узлового напряжения , равное алгебраической сумме токов, создаваемыхвсеми источниками напряжения и источниками тока цепи, делённой на собственную проводимость узла , т. е.

                                               (1.17)

а токи ветвей определяют по обобщённому закону Ома (см. (1.14)).