Выполнения отдельных этапов задания 1. 2
1.2.1. Основные определения. Токи, напряжения и ЭДС, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными (гармоническими), нередко (не совсем точно) переменными. По сравнению с постоянным током синусоидальный имеет ряд преимуществ, в частности, производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трёхфазные системы напряжения. Синусоидальные токи широко используют в радио-, связной и контрольно-измерительной технике и в других областях. Синусоидальную величину, например напряжение, можно задать с помощью вещественной функции времени
где u или u (t) - мгновенное значение напряжения; Um и ![]() При построении временнóй диаграммы за аргумент синусоидальной функции, например напряжения u (t), принимают время t (чему соответствуют период T и начальное время t 0 = Y u /w) или угол w t (чему соответствуют период w T = 2p и начальная фаза Y u в радианах) (см. рис. 1.2.1 а). Однако для большей наглядности угол Y u часто выражают в градусах. Тогда аргумент w t также переводят в градусы (напомним, что 1 рад» 57,3°). В этом случае период w T составляет 360°.
Представление синусоидальных функций при помощи векторов, вращающихся в направление против хода часовой стрелки,позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях синусоидального тока, и широко используется при анализе электромагнитных процессов и выводе основных соотношений между электрическими величинами. Векторная диаграмма (ВД) - это совокупность векторов ЭДС, напряжения и тока, изображающих в плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой электрические величины. В прямоугольной системе координат (оси x и y) эти векторы будем обозначать соответствующими прописными буквами, подчёркнутыми снизу: вектор амплитуды напряжения U m, вектор амплитуды тока I m (рис. 1.2.1 б). Длина, например вектора амплитуды тока I m, должна быть равна (в соответствующем масштабе) амплитуде тока Im, а угол наклона к оси абсцисс - его начальной фазе Y i. В этом случае проекция вектора тока I m на ось ординат равна мгновенному значению тока в момент времени t = 0, т. е. i (0) = Im sinY i, где Y i – начальная фаза тока (см. рис. 1.2.1 б). Угол сдвига фаз j = Y u - Y i между напряжением и током на входе цепи или на неразвлетленном ее участке при вращении векторов остаётся неизменным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обычно изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t = 0 (w t = 0). Знак угла j на векторных диаграммах определяют по направлению его отсчетаот вектора тока I m к вектору напряжения U m: если указанное направление угла j совпадает с направлением частоты w вращения векторов на ВД, то угол j берётся со знаком «плюс» (рис. 1.2.1 б), если направление отсчёта угла j совпадает с направлением хода часовой стрелки, то угол j берётся со знаком «минус».
Время, в течение которого вектор напряжения (тока) совершает один оборот, называют периодом синусоидального напряжения (тока), а величину, обратную периоду Т, определяющую число периодов в секунду – циклической частотой[Гц], т.е.
Частота промышленных сетей в России 50 Гц, в США и Японии – 60 Гц, корабельных сетей – 250 Гц, сетей летательных аппаратов –400 Гц, радиотехнических устройств – сотни кило- и мегагерц, гаджетов – единицы гигагерц. Величину, определяющую число периодов в интервале времени, равном 2p, называют угловой частотой w[рад/с]. Соотношение между периодом T, угловой w и циклической f частотами:
1.2.2. Средние и действующие значения синусоидальных функций. Так как среднее значение гармонического тока
Таким образом, среднее значение синусоидального тока I ср равно его амплитудному значению Im, умноженному на 2/p. Аналогично определяют средние значения напряжения и ЭДС:
Действующий ток (напряжение) - это основной эксплуатационный параметр цепей синусоидального тока, так как тепловое действие тока и механическая сила взаимодействия проводников с токами пропорциональны квадрату тока (произведению токов). Шкалы большинства измерительных приборов (амперметров, вольтметров) проградуированы на эти значения. Действующее значение (действующий ток) это среднеквадратичное значение синусоидального тока за время Т (рис. 1.2.2 б):
т. е.действующий ток равен амплитуде, делённой на Аналогично определяют действующие значения напряжения u (t) и ЭДС e (t):
1.2.3. Представление синусоидальных функций комплексными числами. От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изображая векторы в комплексной плоскости с осями координат: Re - ось действительных чисел и величин и Im- ось мнимых чисел и величин (рис. П2.1 в). При этом векторы напряжения U m и тока I m при t = 0 выражают экспоненциальными функциями с мнимым аргументом и называют комплексными амплитудами
где j =
![]()
![]()
Любая точка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а - координата точки по оси действительных чисел Re; b – координата точки по оси мнимых чисел Im (рис. 1.2.3 а). Воспользовавшись формулой Эйлера
запишем координаты комплекса амплитуды напряжения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 1.2.3 б): Соотношение (2.7) показывает, что синусоидальная функция напряжения u (t) = = Um sin(w t + Y u) это проекция вращающегося вектора на мнимую ось, другими словами, это мнимая часть (без j) комплексной амплитуды напряжения, так как
а косинусоидальная функция напряжения u (t) = Um cos(w t + Y u) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, так как Например, u = 10sin(w t + 45°) Û
Поделив комплексную амплитуду напряжения U m на По аналогии записывают комплексы ЭДС i = 14,1sin(314 t - 30°) А Û I = Переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом:
1.2.4. Формы записи комплексного числа, формулы перехода из одной формы записи в другую и алгебра комплексных чисел. Аналитически комплексное число А можно представить в трёх формах: в алгебраической A = a + jb, тригонометрической A = А (cosY а + j sinY а)и показательной A = А = где А = | А |= Если модуль А = 1, получим формулу Эйлера:
В соответствии с (2.10) переход от алгебраической формы А = a ± jb к показательной осуществляют по формуле: А = а от показательной формы к алгебраической - через тригонометрическую: А = Если действительная часть комплексного числа имеет знак минус, например, комплекс А = - a ± jb, то его аргумент определяют по формуле Y а = Например,
Сложение и вычитание комплексных чисел проводят в алгебраическойформе: A ± B = (a 1± ja 2) ± (b 1 ± jb 2) = (a 1 ± b 1) ± j (a 2 ± b 2). (2.14) Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной форме, например Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме: ·при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют:
·при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают:
Если комплекс B = B
равнозначно повороту вектора А на уголp/2 против хода часовой стрелки, а умножение вектора А на оператор –j= ![]()
Умножение же вектора A на оператор j 2 = - 1 равнозначно повороту вектора А на угол±p (см. рис.1.2.4 а), т.е. получим противоположно направленный вектор – А: j 2 A = j Если комплексная величина С * (рис. 1.2.4 б) отличается от комплекса С только знаком мнимой части, то её называют сопряжённым комплексом (это зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если С = Се С * = Се 1.2.5. М етоды анализа цепей синусоидального тока. В основе расчёта цепей синусоидального тока лежат первый и второй законы Кирхгофа, записанные для мгновенных значений электрических величин. Руководствуясь компонентными уравнениями элементов схемы цепи: и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-дифференциальных уравнений типа причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусоидально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте w) содержит два неизвестных параметра (амплитуду и начальную фазу). Задача анализа линейной электрической цепи в установившемся режиме при гармоническом воздействии сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правыми частями которых являются гармонические функции времени одной и той же частоты. Для решения этих уравнений используют метод векторных диаграмм (для анализа простейших схем обычно с одним источником питания), комплексный (символический) метод и реже метод переменных энергетического состояния цепи. 1.2.6. Основы комплексного (символического) метода анализа сложных схем цепей гармонического тока. При анализе установившихся процессов в сложной электрической цепи гармонические функции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений токов и ЭДС источников энергии, к алгебраическим уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС. При этом комплексными числами изображают не только гармонические ЭДС, токи и напряжения (см. 1.2,3 и 1.2.4) но и параметры пассивных элементов цепи: резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Решив систему комплексных алгебраических уравнений, составленных на базе законов Кирхгофа, метода узловых напряжений и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплексные амплитуды (или комплексы действующих значений) токов и напряжений ветвей цепи, а затем переходят к её временным функциям. Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим комплексным сопротивлением Z Э - комплексным числом, равным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента, т.е.
При этом комплексное сопротивление (комплекс полного сопротивления): · ветвис резистором: Z R = U R / I R = R, т.е. вектор тока I R в ветви с резистором совпадает по фазе с вектором напряжения U R на его зажимах; · ветвис индуктивной катушкой; Z L = U L / I L = jXL = XL · ветвис конденсатором: Z С = U С / I С = - jX С = X С · RL -ветви: Z = U / I = Z · R С -ветви: Z = U / I = Z · RL С -ветви: Z = U / I = Z Величину, обратную комплексному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC -ветви, т. е.
где g = Итак, комплексная (полная) проводимостьRLC -цепи Y = g - j (bL - bC) = g - jb где 1.2.7. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме. Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных направлений тока и напряжения выражение закона Ома имеет вид где Z = Zej j - комплекс сопротивления ветви. Если j> 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при j < 0 ток опережает по фазе напряжение. Так как полная комплексная проводимость Y = 1 / Z, то ток I = UY = UYe Запишем обобщённый закон Ома для ветвис n последовательно соединёнными источниками напряжения и пассивными элементами:
где Е k и U - комплекс k -й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c направлением токаветви, а знак минус - при их противоположном направлении. Первый закон Кирхгофа (1ЗК) гласит, что в любом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов токов равна нулю, т. е.
Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со знаком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со знаком минус. Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в любом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряжений на пассивных элементах этого контура, т. е.
где (n) и (m) - число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре. Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных элементах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением обхода контура. Пример 1.2.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхгофа относительно неизвестных комплексов токов ветвей (I 1, I 2 и I 3) схемы цепи (рис. 1.2.5).
Решение. В соответствии с алгоритмом метода законов Кирхгофа: 1. Выбираем направления комплексов токов ветвей и обозначаем их стрелками на схеме (см. рис. 1.2.5). 2. Уточняем число узлов (У = 2) и ветвей (В = 3) схемы цепи с неизвестными токами. 3. Составляем уравнение по 1ЗК для узла 1: 4. Выбираем независимые контуры и направление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем упражнении имеется два независимых контура (левый и средний). Внимание! Ветвь с заданным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитывается. Запишем уравнения по 2ЗК (для независимых контуров): Пример 1.2.2. Рассчитать схему цепи с одним источником напряжения (рис. 1.2.6 a) со смешанным соединением ветвей методом преобразования (свертывания) схемы и с помощью правила делителя тока. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения, комплекс которого U. Решение. 1. Запишем комплексы сопротивлений ветвей:
2. Комплекс входного сопротивления Z = Z 1 + 3. Комплекс входного тока цепи 4. Комплексы токов ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока:: 5. Комплексы напряжения ветвей: Векторная диаграмма токов и напряжений цепи представлена на рис. П2.6 б, при этом
![]() 1.2.8. Комплексная мощность цепи синусоидального тока. Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент - углу сдвига фаз j = Y u - Y i между током и напряжением на её входе, т.е. S = Se j j = UIe j (Y u - Y i ) = Ue j Y u Ie -Y i = U т.е. комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической S = S cosj + jS sinj, устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи Р = Re[ S ] = S cosj. (2.27) Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощностьцепи Q = Im[ S ] = S sinj. (2.28) С учётом (2.27) и (2.28) выражение (2.76) можно записать следующим образом: S = P + jQ = Итак, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи P, а мнимая - реактивной Q,причём если перед символом j стоит знак «плюс», то это реактивная индуктивная мощность + QL, а если знак «минус» - реактивная ёмкостная мощность - QС. Пример 1.2.3. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплексы тока и напряжения на зажимах которой U = 10 ej 30° B и I = 2 e - j 45°A. Решение. 1. Комплексно-сопряжённый ток 2. Комплексная мощность S = U 3. Активная мощность Р = S cosj = 20cos75°» 5,2 Вт. 4. Реактивная мощность Q = QL = S sinj = 20sin75°» 19,3 вар. 1.2.9. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, должна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приёмниками энергии.
где n и m - число источников и приёмников энергии в цепи. Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а электрическая энергия. Уравнение (2.30) называют уравнением (условием) баланса мощностей. В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, активных и реактивных мощностей. Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.30):
Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей цепи представляют в следующем виде:
при этом слагаемое, стоящие в левой части (2.32), берется со знаком «плюс», если совпадают направления тока I k и ЭДС Е k источника напряжения. В противном случае эти слагаемые берут со знаком «минус». Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: · активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна активной мощности всех её потребителей (расходуемая в резистивных элементах цепи):
· реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её потребителями):
где Rk и j Х k = j Х Lk - j ХС
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|