Выполнения отдельных этапов задания 1. 2

1.2.1. Основные определения. Токи, напряжения и ЭДС, значения кото­рых пери­одически изменя­ют­ся во времени по синусоидальному закону, называют сину­со­ида­ль­­ны­ми (гар­мони­че­скими), не­редко (не совсем точно) переменными. По сра­в­не­нию с постоянным током синусоидальный имеет ряд пре­иму­­ществ, в частно­сти, производство, передача и использование электри­че­­ской энер­гии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока отно­си­тель­но просто преобразовывать форму нап­ряж­ения, а также создавать трёх­фазные системы напряжения. Синусо­идаль­ные токи широко используют в ра­дио-, связной и контрольно-изме­ри­тель­ной технике и в других областях.

Синусоидальную величину, например напряжение, можно задать с по­мо­щью вещественной функции времени

,                                         (2.1)

u, B

Y u /w

Y i

Im

Um

i,A

t,c

T

0

i

w t,рад

a)

u

Рис. 1.2.1. Временная (а) и векторные диаграммы напряжения и тока в прямоугольной (б) и в комплексной (в) плоскостях

2p + Y u

0

(t = 0)

w

j

0

у

Y u

Y i

I m

U m

б)

х

(t = 0)

w

j

0

Im

Y u

Y i

I m

U m

в)

Re

где u или u (t) - мгновенное значение напряжения; U_m и  – амплитуда и фа­­за синусоидальной функции, или в виде вре­мен­нóй (а)или векторной диаграммы в прямоугольной х-у (б) или в комплексной Re-Im (в) плоскостях (рис. 1.2.1).

При построении временнóй диаграммы за аргумент синусоидальной функ­­­ции, например напряжения u (t), принимают время t (чему соо­твет­ствуют период T и начальное время t ₀ = Y _u /w) или угол w t (чему соответствуют период w T = 2p и начальная фаза Y _u в радианах) (см. рис. 1.2.1 а). Од­нако для боль­­шей наг­ляд­ности угол Y _u часто выражают в градусах. Тогда аргумент w t также пе­ре­­во­дят в градусы (напомним, что 1 рад» 57,3^°). В этом случае период w T составляет 360°.

Представление синусоидальных фун­кций при помощи векторов, вращающихся в направление против хода часовой стрелки,позволяет нагля­дно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях сину­со­идального тока, и широко используется при анализе электромагнитных процессов и выводе основных соотношений между электрическими величинами.

Векторная диаграмма  (ВД) - это совокупность векторов ЭДС, напря­жения и то­ка, изобра­жа­ющих в плоскости синусоидально изменя­ющи­еся с од­ной и той же частотой электрические величины. В прямоугольной системе ко­ор­ди­нат (оси x и y) эти векторы будем обозначать соответ­ству­ющими прописными буквами, под­чёркну­ты­ми снизу: вектор амплитуды напряже­ния U _m, вектор амплитуды тока I _m (рис. 1.2.1 б). Длина, напри­мер век­­тора амплитуды тока I _m, должна быть равна (в соответ­ству­ющем масштабе) ампли­ту­де то­ка I_m, а угол наклона к оси абс­цисс - его начальной фа­зе Y _i. В этом слу­­чае проекция вектора тока I _m на ось ординат рав­на мгновен­но­му зна­че­­нию тока в момент времени t = 0, т. е. i (0) = I_m sinY _i, где Y _i – начальная фаза тока (см. рис. 1.2.1 б).

Угол сдвига фаз j = Y _u - Y _i между напряжением и током на входе цепи или на неразвлетленном ее участке при вращении векторов ос­та­ёт­ся неиз­мен­ным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обы­ч­но изобра­жа­ют не враща­ющи­мися, а неподвижными для момента времени t = 0 (w t = 0). Знак угла j на векторных диаграммах определяют по направлению его отсчетаот вектора тока I _m к век­тору напряжения U _m: если ука­занное направление угла j совпадает с направ­ле­нием частоты w вращения векторов на ВД, то угол j берётся со знаком «плюс» (рис. 1.2.1 б), если направ­ление отсчёта угла j сов­па­да­ет с направлением хода часовой стрелки, то угол j берётся со знаком «минус».

Время, в течение которого вектор напряжения (тока) совершает один оборот, на­­­зывают периодом синусоидального напряжения (тока), а величину, обратную пери­­оду Т, определяющую число периодов в секунду – циклической частотой[Гц], т.е.

                                                          (2.2)

Частота промышленных сетей в России 50 Гц, в США и Япо­­нии – 60 Гц, корабель­ных сетей – 250 Гц, сетей летательных ап­п­­а­ратов –400 Гц, ра­дио­­тех­ниче­ских уст­ройств – сотни кило- и мегагерц, гаджетов – единицы гигагерц.

Величину, определяющую число периодов в интер­вале вре­мени, равном 2p, называют угловой частотой w[рад/с].

Соотношение между периодом T, угловой w и циклической f частотами:

                                                     (2.3)

1.2.2. Средние и действующие значения синусоидальных функций. Так как среднее значение гармонического тока  за пери­од T рав­но нулю, то под средним зна­че­­ни­ем тока i (t) понима­ют сред­нее в ин­тер­вале времени T /2 (рис. 1.2.2 а), т.е.:

                                (2.4)

t

б)

Im

i

T

0

R i 2

I

а)

i

T

T /2

0

t

I cp

Im

2 I m /p

Im /Ö2

Рис. 1.2.2. К определению среднего (а) и действующего (б) значений гармонического тока i (t)

Таким образом, среднее значение син­у­соидального то­ка I _ср равно его ам­пли­туд­ному значе­нию I_m, умноженному на 2/p.

Аналогично определяют средние значения напря­же­ния и ЭДС:

Дей­ствующий ток (напряжение) - это основной эксплуа­та­ционный параметр це­пей синусо­идаль­ного тока, так как тепловое действие то­ка и механическая сила взаимо­действия про­водников с токами пропор­ци­о­нальны квадрату тока (произведению токов). Шкалы боль­шин­ства изме­­­­ри­тельных приборов (ампер­мет­ров, вольтметров) проградуированы на эти зна­чения.

Действующее значение (действующий ток) это среднеквадратичное значение синусоидального тока за время Т (рис. 1.2.2 б):

                           (2.5)

т. е.действующий ток равен амплитуде, делённой на .

Аналогично определяют действующие зна­чения нап­ря­­же­ния u (t) и ЭДС e (t):

, .

1.2.3. Представление синусоидальных функций комплексными числами. От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изо­бра­жая векторы в ком­плексной плоскости с осями координат: Re - ось дей­стви­­­тель­ных чисел и величин и Im- ось мнимых чисел и величин (рис. П2.1 в). При этом век­торы напряжения U _m и тока I _m при t = 0 выражают экспоненциальными функциями с мнимым аргументом и называют комплексными амплитудами

  и ,

где j = = - оператор поворота векторов против хода часовой стрелки на 90° при их умножении на j; U_m и I _m – модули, а Y _u и Y _i – аргу­менты ком­плексных амплитуд напряжения U _m и тока I _m при t = 0. Отметим, что модулями комплек­сных амплитуд напряжения и тока являются амплитуды U_m и I_m, а аргументами - начальные фазы Y _u и Y _i синусоидаль­ного на­пря­жения u (t) и тока i (t).

Рис. 1.2.3. Действительные и мнимые составляющие комплексных функций

Im

w

Y u + w t

Re

U m e j w t

0

б)

а)

Im

а

Y а

Re

A

0

Лю­бая точ­ка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала ко­ор­ди­нат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а - ко­­ор­ди­­ната точки по оси действительных чисел Re; b – координата то­ч­ки по оси мнимых чисел Im (рис. 1.2.3 а).

Воспользовавшись формулой Эйлера

                                      (2.6)

запишем координаты комплекса ампли­ту­ды напря­­жения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 1.2.3 б):

                         (2.7)

Соотношение (2.7) показывает, что синусоидальная функция напряжения u (t) = = U_m sin(w t + Y _u) это проекция вращающегося вектора на мнимую ось, другими словами, это мнимая часть (без j) комп­ле­ксной амплитуды напряжения, так как

 

а косинусоидальная функция напряжения u (t) = U_m cos(w t + Y _u) есть проекция вра­щающегося вектора на действительную ось или действитель­­ная часть ком­­­плексной амплитуды напряжения, так как

Например, u = 10sin(w t + 45°) Û   где В - комплексная амплитуда напряжения.

Поделив комплексную амплитуду напряжения U _m на , получим комп­­лекс действу­ю­щего значения напряжения или комплекс напряжения:

     =                              (2.8)

По аналогии записывают комплексы ЭДС и тока , например,

i = 14,1sin(314 t - 30°) А Û I = A.

Переход от комплексов к синусо­идаль­ным фун­кциям осуществляют следующим образом:

  Û u (t) = U sin(w t + Y _u),                              (2.9)

  Û i (t) = I_m sin(w t + Y _i) и т. д.

1.2.4. Формы записи комплексного числа, формулы перехода из одной фо­рмы записи в другую и алгебра комплексных чисел. Аналитически ком­плекс­ное чи­с­ло А мо­ж­но представить в трёх формах: в алгеб­раиче­ской A = a + jb, три­­гоно­мет­ри­ческой A = А (cosY _а + j sinY _а)и показательной A =  (рис. 1.2.3 а), т. е.

А = = А (cosY _a + j sinY _a) = a + jb,                           (2.10)

где А = | А |=   иY _а = arctg - модуль и аргу­мент комплексного числа А; a = = Re[ А ] и b = Im[ А ] - действитель­ная и мни­мая части комплексного чи­сла А.

 Если модуль А = 1, получим формулу Эйлера:

.

В соответствии с (2.10) переход от алгебраической формы А = a ± jb к показательной осуществляют по формуле:

        А = ,                               (2.11)

а от показательной формы к алгебраической - через тригонометрическую:

         А = = = a ± j b.                          (2.12)

Если действительная часть комплексного числа имеет знак ми­нус, напри­мер, комплекс А = - a ± jb, то его аргумент определяют по формуле

Y _а = arctg(b/a) - p .                                           (2.13)

Например,

,

Сложение и вычитание комплексных чисел проводят в алгебраическойформе:

A ± B = (a ₁± ja ₂)   ± (b ₁ ± jb ₂) = (a ₁ ± b ₁) ± j (a ₂ ± b ₂).                 (2.14)

Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной фор­ме, на­пример , вначале их нужно преобразовать в алгеб­ра­ическую форму со­г­ласно (2.12), а затем использовать соотношение (2.14).

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной фор­ме:

·при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют:

;                                   (2.15)

·при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают:

= .                                    (2.16)

Если комплекс B = B = =   то умножение век­то­ра А на вектор B, т. е.

,

Рис. 1.2.4. Повороты вектора А при его умножении на ± j (а) и расположение комплексно-сопряженных векторов С и С * в комплексной плоскости (б)

Y с

w

б)

- Yс

Re

- w

C

0

-jb

jb

a

Im

С *

Im

Y a

Re

A

j A

j 2 A = - A

0

p/2

а)

-j A

- p /2

равнозначно повороту вектора А на уголp/2 против хода часовой стрелки, а умножение вектора А на оператор –j=  рав­­нозначно его повороту на угол p/2 по ходу часовой стрелки(см. вектор -j A на рис.1.2.4 а).

Умножение же вектора A на оператор j ² = - 1 равнозначно повороту вектора А на угол±p (см. рис.1.2.4 а), т.е. получим противоположно напра­в­лен­ный вектор – А:

 j ² A = j .

Если комплексная величина С ^* (рис. 1.2.4 б) отличается от комплекса С только знаком мни­мой части, то её называют сопряжённым комплексом (это зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если

С = Се = С (cosY _c + j sinY _c) = a + jb, то

                               С ^* = Се = С (cosY _c - j sinY _c) = a - jb.                           (2.17)

1.2.5. М етоды анализа цепей синусоидального тока. В основе расчёта цепей синусоидального тока лежат первый и второй законы Кирхгофа, записанные для мгно­­­венных значений электрических ве­личин. Руководствуясь ком­по­нентными ура­вне­ниями элементов схе­мы цепи:

   ­

и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-диф­­­фе­рен­ци­аль­ных уравнений типа

причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусо­идально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте w) содержит два неизвестных параметра (амплиту­ду и начальную фазу).

Задача анализа линейной электрической цепи в ус­та­новившемся режиме при гармоническом воз­действии сводится к решению сис­темы линейных дифференци­аль­ных ура­внений с пос­тоян­­ными коэф­фициентами, правыми частями кото­рых яв­ляются гармони­ческие функции времени одной и той же частоты. Для решения этих уравнений используют метод векторных диаграмм (для анализа простейших схем обычно с одним источником питания), комплексный (симво­лический) метод и реже метод переменных энергетического состояния цепи.

1.2.6. Основы комплексного (символического) метода анализа сложных схем цепей гармонического тока. При ана­лизе уста­но­вившихся процессов в сложной электрической цепи гармони­ческие функ­ции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных зна­­чений токов и ЭДС источников энергии, к ал­геб­раиче­ским уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС.

При этом комплексными числами изображают не только гармонические ЭДС, токи и напряжения (см. 1.2,3 и 1.2.4) но и параметры пассивных элементов цепи: резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Решив систему комплексных алгеб­раических уравнений, составленных на базе законов Кирхгофа, метода узловых напряжений и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплек­сные амплитуды (или комплексы действующих значений) токов и напряжений ветвей цепи, а затем переходят к её временным функциям.

Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим ком­­плексным сопротивлением  Z _Э - компле­к­сным числом, рав­ным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента, т.е.

= .                                            (2.18)

При этом комплексное сопротивление (комплекс полного сопротивления):

   · ветвис резистором:   Z _R = U _R / I _R = R, т.е. вектор тока I _R в ветви с резистором совпадает по фазе с вектором напряжения U _R на его зажимах;

· ветвис индуктивной катушкой; Z _L = U _L / I _L = jX_L = X_L   т.е. вектор тока I _L в ветви с индуктивной катушкой отстает по фазе от вектора напряжения U _L на его зажимах на угол, равный p/2;

· ветвис конденсатором: Z _С = U _С / I _С = - jX _С = X _С  т.е. вектор тока I _С в ветви с конденсатором опережает по фазе вектор напряжения U _С на его зажимах на угол, равный p/2;

· RL -ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RL -ветви     Z = , а его аргумент j = Y _u - Y _i = arctg(X_L / R) > 0 определяет фазовый угол отста­ва­ния вектора тока I  от вектора напряжения U _L на зажимах RL -ветви;

· R С -ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления R С -ветви     Z = , а его аргумент j = Y _u - Y _i = - arctg(X _С / R) < 0 определяет фазовый угол опе­режения вектором тока I вектора напряжения U на зажимах R С -ветви;

   · RL С -ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RL С -ветви  Z = , а аргумент j = Y _u - Y _i = arctg[(X_L - X _C)/ R ] определяет фазовый сдвиг между векторами напряжения U и тока I на зажимах ветви: при X_L > X _C вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол j, при X_L < X _C вектор тока опережает по фазе вектор напряжения на угол j, а при X_L = X _C вектор тока совпадает по направлению в комплексной плоскости с вектором напряжения.

Величину, обратную ком­плекс­ному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC -ветви, т. е.

 

               (2.19)

где g =   и  = b_L - b_C - активная   и реак­тив­­ная   проводи­мо­стицепи; b_L =   и b_C = - индуктивная и ёмкостная про­во­ди­мости   RLC -ветви.

Итак, комплексная (полная) проводимостьRLC -цепи

Y = g - j (b_L - b_C) = g - jb ,            (2.20)

где и j = arctg - модуль и аргумент ком­плексной проводимости цепи.

1.2.7. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме. Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных на­п­рав­лений тока и напряжения выражение закона Ома  имеет вид

        ,                             (2.21)

 где Z = Ze^{j j} - комплек­с сопротивления ветви.

 Если j> 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при j < 0 ток опережает по фазе напряжение.

Так как полная комплексная прово­димость Y = 1 / Z, то ток

I = UY = UYe .                                  (2.22)

Запишем обоб­щён­ный закон Ома для ветвис n последовательно соединёнными источниками напря­жения и пас­сивными элементами:

                                                 (2.23)

где Е _k и U - комплекс k -й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c нап­ра­влением токаветви, а знак минус - при их противоположном направле­ни­и.

Первый закон Кирхгофа  (1ЗК) гласит, что в лю­бом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраи­ческая сумма комплексов токов равна нулю, т. е.

.                                                        (2.24)

Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со зна­ком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со зна­ком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в лю­бом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряже­ний на пассивных элементах этого контура, т. е.

                           (2.25)

где (n) и (m) - число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре.

Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных эле­ментах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпа­да­ют с нап­равлением обхода контура.

Пример 1.2.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхго­фа относи­тельно неизвестных компле­к­­сов то­ков ветвей (I ₁, I ₂ и I ₃) схе­мы цепи (рис. 1.2.5).

E

-jXC 1

R 2

R 3

jXL 2

-jXC 3

Рис.1.2.5

I 2

I 1

I 3

1

J

Решение. В соответствии с алгорит­мом ме­тода зако­нов Кирх­го­фа:

1. Выбираем напра­в­­ле­ния ком­пле­к­сов то­ков ветвей и обозна­чаем их стрелками на схеме (см. рис. 1.2.5).

2. Уто­чняем чис­ло узлов (У = 2) и вет­вей (В = 3) схемы цепи с неиз­вест­ными тока­ми.

3. Состав­ляем уравнение по 1ЗК для узла 1:

4. Выбираем независимые кон­ту­ры и нап­равление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем уп­раж­нении имеется два независи­мых контура (левый и средний).

Внимание! Ветвь с за­данным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитыва­ется.

Запишем уравнения по 2ЗК (для неза­виси­мых контуров):

      

Пример 1.2.2. Рас­считать схему цепи с одним источником напряжения (рис. 1.2.6 a) со смешанным соединением ветвей методом преобразования (свертывания) схемы и с помощью правила делителя тока. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения, комплекс которого U.

Решение. 1. Запишем комплексы сопротивлений ветвей:

, ,

.

2. Комплекс входного сопротивления Z = Z ₁ + .

3. Комплекс входного тока цепи .

4. Компле­ксы то­ков ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока::

5. Комплексы напряжения ветвей:

Век­торн­ая диаграмма то­ков и нап­ряжений це­пи представ­лен­а на рис. П2.6 б, при этом

 

I 3

U

-jXC 1

R 2

R 3

jXL 2

-jXC 3

Рис. 1.2.6. Расчетная схема (а) и векторная диаграмма напряжений и токов (б) цепи

I 2

I 1

U 2

U 1

Im

Re

U 2

U

U 1

j 3

I 3

I 2

I 1

0

j2

б)

а)

1.2.8. Комплексная мощность цепи синусоидального тока. Комплексной мощ­­­­­ностью цепи на­зывают комплексное число S, мо­дуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент - углу сдвига фаз j = Y _u - Y _i между током и напряжением на её входе, т.е.

S = Se ^{j j} = UIe ^{j (Y u - Y i )} = Ue ^{j Y u} Ie ^{-Y i} = U ,                     (2.26)

т.е. комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток  

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической

S = S cosj + jS sinj,

 устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна ак­тив­ной мощности цепи

Р = Re[ S ] = S cosj.                                           (2.27)

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реак­тив­ную мощностьцепи

Q = Im[ S ] = S sinj.                                           (2.28)

С учётом (2.27) и (2.28) выражение (2.76) можно записать следу­ющим образом:

S = P + jQ = .                             (2.29)

Итак, комплексная мощность S пред­ставляет собой ком­плекс­ное число, действительная часть которо­го равна активной мощ­ности цепи P, а мнимая - реактивной Q,причём если перед сим­волом j стоит знак «плюс», то это реактивная индуктивная мощность + Q_L, а если знак «минус» - реактивная ёмкостная мощность - Q_С.

Пример 1.2.3. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплексы тока и напряжения на зажимах которой U = 10 e^{j 30°} B и I = 2 e ^{- j 45°}A.

Решение. 1. Комплексно-сопряжённый ток = 2 e^{j 45°}A.

2. Комплексная мощность S = U = 10 e^{j 30°}×2 e^{j 45°} = 20 e^{j 75°} В×А.

3. Активная мощность Р = S cosj = 20cos75°» 5,2 Вт.

4. Реактивная мощность Q = Q_L = S sinj = 20sin75°» 19,3 вар.

1.2.9. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Из закона сохранения энергии следует, что сум­ма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, дол­­жна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми при­ём­никами энергии.

= ,                                           (2.30)

 где n и m - число источников и приёмников энергии в цепи.

Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а элек­три­че­ская энергия.

Уравнение (2.30) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, актив­ных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.30):

.                                                 (2.31)

Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей це­пи представляют в следующем виде:

                                       (2.32)

при этом слагаемое, стоящие в левой части (2.32), берется со знаком «плюс», если совпадают направления тока I _k и ЭДС Е _k источника напряжения. В противном слу­чае эти слагаемые берут со знаком «минус».

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

· активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна ак­тив­­ной мощности всех её потребителей (расходуемая в резистив­ных элементах цепи):

                          (2.33)

· реактивная мощность всех источников равна реактивной мощ­ности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её пот­реби­телями):

                   (2.34)

где R_k и j Х _k = j Х _Lk - j Х_С

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: