Основные теоретические положения и примеры

 ВЫПОЛНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЭТАПОВ ЗАДАНИЯ 1.3

1.3.1. Основные определения. Трёхфазная цепь – это совокупность трёх­фаз­ной системы ЭДС, трёхфаз­ной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов. Трёх­фазной системой ЭДС (напряжений) называют систему, состоящую из трёх (однофазных) элек­трических цепей, в которых действуют три синусоида­ль­ные ЭДС одной и той же частоты, равные по амплитуде и сдвинутые по фа­зе относительно друг друга на угол 2p/3 (120°). Три ЭДС создаются в неподвижных обмотках, разме­щён­ных в пазах статора трёхфазного генератора под углом 120° относи­тельно друг друга, при вращении ротора с намотанной на него катушкой, по которой про­текает постоянный ток.

Под фазой трёхфазной цепи пони­мают участок цепи, по которому про­те­ка­ет одинаковый ток. Под фазой бу­дем также понимать аргу­­мент (w t - Y) синусо­идальной функции. Таким об­разом, в зависимо­сти от рас­смат­риваемого воп­ро­са, фаза - это либо учас­ток трёхфазной це­пи, либо аргу­мент синусоидаль­ной фун­кции.

Рис. 1.3.1. Схемы соединения фаз трёхфазных генератора и приёмника

Линейный провод А

iN

А

e С

c

В

eA

n

Нейтральный провод

N

a

b

Za

Zc

Zb

e В

а)

iA

С

eCA

C

B

A

c

eBC

eAB

b

Zca

a

Z ab

Z bc

б)

iA

i С

iB

iB

i С

1.3.2. Схемы соединения фаз трехфазных генератора и приёмника. Об­мо­тки статора трёхфазного генератора соединяют по схеме зве­зда (Y) (рис. 1.3.1 а, слева) или треугольник (D) (рис. 1.3.1 б, слева). Трёхфаз­ная нагрузка (при­­ёмник) также может быть соединена по схеме звезда или треугольник (рис. 1.3.1 а и б, справа). Электрические величины, относя­щи­е­­­ся к ге­не­ратору, будем сна­бжать ин­декса­ми из про­писных букв А, B и C, а ве­ли­чины, от­нося­щиеся к трёхфазному при­ём­ни­ку, - ин­дек­сами из строч­ных букв а, b и c.

Провода, соединяющие точки А и а, B и b, С и с, называют линейными (провод А, про­вод B и провод С); соот­ветственно и токи в них I_A, I_B, I_C называют линейными. Про­вод, соеди­ня­ющий точку N (нейтраль ге­­не­­ра­­то­ра) с точкой n (нейтральюприёмни­ка) (см. рис. 1.3.1 а), назы­ва­ют нейтральным (иногда, ну­ле­­вым),а ток I_N в нём - током в ней­траль­ном проводе.

1.3.3. Схемы соединения фаз генератора и приёмника звездой. Для упрощения анализа процессов в трёхфазной цепи будем пренеб­регать сопротивлениями ли­ней­­ных и нейтрального проводов и считать ис­точ­ники напряжения (рис. 1.3.2, слева) с ЭДС E _A, E _B и E _C идеальными. Напряжения меж­ду линейными проводами называют линейными: U _AB, U _BC, U _CA, а между каждым из линейных проводов и ней­тра­льным - фазными:  U _A, U _B, U _C генератора и U _a, U _b, U _c при­ёмника (второй индекс N или n опус­ка­ют). Условно положительные направления ЭДС, линейных и фазных напряжений и токов в четырёхпроводной схеме звезда-звезда (Y-Y) указаны на рис. 1.3.2.

При принятых допущениях фазные напряжения трёхфазного приёмника в схеме Y-Y с четырьмя проводами (называемой соединением звез­да-звезда с нейтральным (нулевым) проводом) равны фазным нап­ряже­ниям ге­не­ра­тора, т. е.

U _a = U _A, U _b = U _B,     U _c = U _C,

I B

I C

U C

I A

А

E C

В

E A

U b

N

E B

C

U AB

U BC

U c

U B

U A

U CA

Рис. 1.3.2. Четырехпроводная схема соединения генератора и трехфазного приемника

b

a

n

c

Z a

Z c

Z b

U а

I N

I b

I c

I а

а так называемое напряжение смещения нейтрали между точками n и N равно нулю (U _nN = 0).

Если сопротивления фаз приёмника одинаковые (см. рис. 1.3.2), т. е.

то нагрузка называется симметричной. В этом случае модули фазных токов одинаковые и равны соответствующим линейным токам:

I_a = I_b = I_c = I _ф = I_А = I_В = I_С = I _л = U _ф /Z _ф,                          (3.1)

где U _ф = U_a = U_b = U_c = U_A = U_B = U_C - модули фазных напряжений при­ём­ника и трёхфазного генератора.

U с = U С

j c

j а

U ab = U AB

I c

U bc = U BC

I а

U a = U A

U ca = U CA

I b

j b

n

а)

U л

30°

30°

120°

Рис1.3.3. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при симметричной нагрузке (а) и треугольник фазных и линейного напряжений при соединении фаз  приёмника по схеме звезда (б)

б)

U b = U B

U ф

U ф

На рис. 1.3.3 а приведена век­торная диаграмма напряжений и токов трёхфазного приёмника при симметричной нагрузке, носящей активно-ём­ко­с­тный характер: .

Как напряжения  так и токи I _a, I _b, I _c составляют сим­метричные звёзды, поэтому сумма ком­плексов фазных токов

I _N = I _a + I _b + I _c = 0,                                             (3.2)

т. е. ток в нейтральном проводе равен нулю и нейтральный провод можно отключить. В результате получим эквивалентную трёхпроводную систему вклю­­чения при­ём­ника с генератором по схеме Y-Y.

Для соедине­ния фаз приёмника звёздой (см. рис. 1.3.3 а) очевидно соотно­шение между линейными и фазными токами:

I _ф = I _л.                                                        (3.3)

Выведем соотношения между линейными и фазными напряжениями для соединения приёмника и генератора по схеме Y-Y (четырёхпроводная схема). Согласно 2ЗК имеем (см. рис. 1.3.2 и рис. 1.3.3 а)

U _AB = U _A - U _B = U _ab = U_a - U _b,

U _BC = U _В - U _С  = U _bc = U _b - U _c,

U _CA = U _C - U _A = U _ca = U _c - U _a .

Если рассмотреть один из треугольников (рис. 1.3.3 б), то легко вы­вести соотношение между линейным и фазным напряжениями, а именно:

                                          (3.4)

т. е. фазное напряжение в  раз меньше линейного и отстаёт от него по фазе на угол 30° (точнее, вектор напряжения U _a отстаёт по фазе от век­тора U _ab, вектор U _b - от вектора U _bc, а вектор U _c - от вектора U _{ca ,}, см. рис. 1.3.3 а).

U a

U c

U b

I b

I N

j c

jb

I a

I c

I c

Рис. 1.3.4

I a

j а

В четырёхпроводной системе при несимметричной нагрузке, в кото­рой комплексные сопротивления фаз Z _a ¹ Z _b ¹ Z _c (на­п­ри­­мер, Z _a = - jX _a, Z _b = R _b - jX_b и Z _c = R_c - - jX_c), фаз­ные напряжения приём­ни­ка равны соответствующим фазным напря­же­ни­ям генератора, т. е.

U _a = U_A, U _b = U _B, U _c = U _C,

а фа­зные токи различны и равны:

.

Ток в нейтральном проводе (рис. 1.3.4)

I _N = I _a + I _b + I _c.                           (3.5)

Z c

Рис. 1.3.5. Схема приёмника (а), векторнные диаграммы напряжений и токов приёмника при нормальной режиме работы (б) и при обрыве фазы «с» (в)

Z a

A

C

B

N

n

I a

Z b

I N

a)

U a

U c

U b

I N

I a

I b

I с

0

б)

U a

U c

U b

I N

I a

I b

I b

0

в)

I b

Ic

U л

 Пример 1.3.1. В схеме рис. 1.3.5 а линейное напря­же­ние нагрузки U _л = 380 В. Модули соп­ротивлений фаз нагрузки равны Z _ф = 110 Ом, но имеют раз­лич­ный ха­рак­тер:   Z _a = R, Z _b = jX_L, Z _с = - jX_C. Найти токи и мощности фаз и приёмника, ток I_N в нейтраль­ном про­во­де, в том числе и при обрыве фазы «с».

Решение. 1. Фазные напряжения приёмника:

2. Комплексы токов фаз

3. Построим векторную диаграмму напряжений и токов приёмникa.

В н и м а н и е! При построении векторных диаграмм напряжений и токов в трёхфазной цепи комплексную плоскость поворачивают против хода часовой стрелки на 90° и направляют по оси действительных чисел (вертикально вверх) вектор напряжения U _a = U_a = U _ф фазы «а» (или комплекс U _ab фазы «ab» при соединении фаз приёмника по схеме треугольник). Векторы напряжений   и  вычерчивают в комплексной плоскости в соответствии с их аргументами.

В цепи (см. её схему на рис. 1.3.5 а) ток I _а совпадает по фазе с напряжением U _a, ток I _b отстаёт по фазе от напряжения U _b на 90°, а ток I _c опережает по фазе напряжение U _с на 90° (рис. 1.3.5 б).

4. Комплекс тока в нейтральном проводе равен сумме комплексов фазных токов, т.е.

I _N = I _а + I _b + I _c = =

 = 2 + 4×(-0,866) = -1,464 =  A.

5. Комплекс тока в нейтральном проводе при обрыве фазы «с» равен сумме комплексов фазных токов I _а и I _b, т.е.

I _N = I _а + I _b =  

          =  2 - 2×(-0,866) + j 2×0,5 = 0,268 + j = 1,035 e^{j 75°} A.

6. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при обрыве фазы «с» пред­ставлена на рис. 1.3.5 в).

7. Комплексные мощности фаз приёмника:

S _a = U _a = 220 × 2 = 440 B×A (P_a = 440 Вт, Q_a = 0),

S _b = U _b = ×  = 440cos270^° - j 440sin270^° B×A = j 440 B×A

(P_b = 0, Q_b = 440 вар).

S _с = U _с = ×  = 440cos270^° + j 440sin270^° B×A = - j 440 B×A

(P _с = 0, Q _с = - 440 вар).

8. Комплексная мощность приёмника, фазы которого соединены звездой,

S _Y = S _a + S _b + S _с = 440 + j 440 - j 440 = 440 B×A (P _Y = 440 Вт, Q _Y = 0).

2.7.3. Схема соединения фаз генератора и приёмника треугольником. Пусть обмотки трёхфазного генератора и трёхфазный приёмник сое­динены по схеме треугольник (схема соединения D-D)(рис. 1.3.6). Так как три ЭДС ге­­нератора равны по модулю и сдвинуты по фазе на 120° отно­сительно друг друга, то сумма трёх комплексов ЭДС в замкнутом треугольнике А-В-С- A равна ну­лю, т. е. E _AB + E _BC + E _CA = 0. Поэтому, если к зажимам А, В и С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать уравнительный ток.

Как видно из рис. 1.3.6, в такой схеме возможно только трёхпроводное сое­ди­­­не­ние трёхфазного приёмника с генератором; последний может быть со­е­­ди­­нён звездой. На этом же рисунке показаны условно положительные направления линей­ных и фазных напря­же­ний и то­ков в систе­ме соединения D-D.

Фазные напряжения приёмника, фазы которого со­е­динёны треугольником, рав­ны соответствующим линей­ным нап­­ря­жениям генератора:

U _ab = U _AB, U _bc = U _BC,

U _ca = U _CA,  U _ф = U _л,                                               (3.6)

а модули фазных токов приёмника при симметричной  нагрузке

(Z _ab = Z _bc = Z _ca = Z _ф = R _ф + jX _ф):

I ab

Рис. 1.3.6. Схема соединения трехфазного приёмника энергии с генератором, соединенных по схеме треугольник

I ca

I bc

Е CA

B

C

A

c

Е BC

Е AB

b

Z ca

a

Z ab

Z bc

U AB = U ab

U BC = U bc

U CA = U ca

I A

I B

I C

I_ab = I_bc = I_ca = I _ф = .                                             (3.7)

Согласно первому закону Кирхгофа для точек а, b и с (см. рис. П3.6) линейные токи:

I _A = I _ab - I _ca,

I _B = I _bc - I _ab,

I _C = I _ca - I _bc.                                                                                   (3.8)

U ab = U АВ

I bc

- I bc

I ca

Рис. 1.3.7

- I ca

- I ab

j ab

I A

I ab

I C

I B

U bc = U ВС

U ca = U СА

j bc

j ca

При симметричной нагрузке комплексы как фаз­­ных, так и линейных токов состав­ля­ют сим­­­­­мет­­рич­ные звёзды (рис. 1.3.7), а соот­но­ше­ние модулей между ними

I _л = I _ф,  I _ф = ,                  (3.9)

  При несимметричной нагрузке фазные токи различны:

      I _ab = I _bc = I _ca =                 (3.10)

где

Линейные токи рассчитывают по формулам (1.3.8). При несимметричной нагрузке ли­ней­ные токи могут быть как больше, так и мень­ше фазных токов нагрузки. Заметим, что сумма комплексов линейных токов всегда рав­на нулю, т. е.

I _A + I _B + I _C = 0.                        (3.11)             

Пример 1.3.2. Трёхфазный потребитель энергии (рис. 1.3.8) с сопротивлениями фаз Z _ab = 10 Ом,   Z _bc = 10 + j 10 = , Z _ca = 10 - j 5 = Ом сое­динён треу­голь­­ни­ком и включён в трёхфазную сеть с линейным нап­­ряже­ни­ем U _л= 380 В.

Оп­ре­делить фаз­ные и линейные токи, мощности фаз и приёмника и построить вектор­ную диаграмму токов и напряжений, в том числе и при обрыве фазы «b с».

Решение. 1. Комплексы фазных токов:

I _ab = = 38 A,

I _bc = А,

I _ca =

2. Комплексы линейных токов:

I _A = I _ab - I _ca = 38 -

I _B = I _bc - I _ab =

I_C = I _ca - I _bc -

Рис. 1.3.8. Схема приёмника энергии (а) и векторные диаграммы напряжений  и токов при нормальной работе (б) и при обрыве фазы «bc» (в)

I ab

I bc

I C

I B

I ca

c

b

Z ca

a

Z ab

Z bc

U ab

U bc

U ca

I A

А

В

С

а)

U ab

- I ca

I bc

U сa

U bc

I A

I ab

I B

- I ab

б)

I С

I ca

- I bc

0

U ab

- I ca

U сa

U bc

I A

I ab

I B

= - I ab

в)

I С

= I ca

0

3. Комплексы фазных и линейных токов при обрыве фазы «bc»:

I _ab = 38 A, I _bc = 0, I _ca

I _A = I _ab - I _ca =     I _B = I _bc - I _ab = - I _ab = -38 A,

I_C = I _ca - I _bc = I _ca

4. Комплексные мощности фаз:

S _ab = U _ab = 380× 38 = 14440 B×A (P_ab = 14,44 кВт, Q_ab = 0),

S _bc = U _bc = 380 ×  = 10220  B×A = 10,21  кB×A

 (P_{b с} = S_{b с} cos45° = 10,21 × 0,707 = 7,22 кВт, Q_{b с} = S_{b с} sin45° = 10,21 × 0,707 = 7,22 квар),

S _ca = U _ca = 380 ×  = 12882  B×A» 12,88  кB×A

 (P _{с a} = S _{с a} cos26,5° = 12,88 × 0,895 = 11,53 кВт,

Q _{с a} = - S _{с a} sin26,5° = -12,88 × 0,446 = -5,75 квар),

5. Комплексная мощность, потребляемая приёмником,

S _∆ = S _ab + S _bc + S _ca = 14,44 + 10,21 + 12,88 =

                      = 14,44 + 7,22 + j 7,22 + 11,53 - j 5,75 = 33,19 + j 1,47 = 33,22  кB×A,

где активная мощность приёмника Р_∆ = 33,19 кВт и реактивная индуктивная мощность Q _∆ = 1,47 квар.

6. Векторные диаграммы напряжений и токов потребителя энергии при нормальной работе и при обрыве фазы «bc» приведены на рис. 1.3.8 б и на рис. 1.3.8 в.

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: