 |
Уравнения плоской и сферической волн
|
|
|
|
На правах рукописи
Физика
Конспект лекций
(Часть 5. Волны, волновая оптика)
Для студентов направления 230400
«Информационные системы и технологии»
Электронный образовательный ресурс
Составитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко
Рассмотрен и рекомендован для использования в учебном процессе на 2013/2014 – 2015/2016 уч. г. на заседании кафедры ЕНД.
Протокол № 1 от 04. 09. 2013 г.
Шахты 2013
Волновые процессы
Основные понятия и определения
Рассмотрим некоторую упругую среду - твёрдую, жидкую или газообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью 
. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Если частицы в среде колеблются в направлении распространения волны, то она называется продольной. Если колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется поперечной. Поперечные механические волны могут возникнуть только в среде, обладающей ненулевым модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газообразной средах могут распространяться только продольные волны. Различие между продольными и поперечными волнами наиболее хорошо видно на примере распространения колебаний в пружине - см. рисунок.
Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны - плоскости поляризации.
Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем. Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны. Иначе говоря, фронт волны - геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени. В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны.
|
|
|
Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колебаний равен Т. Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние
(22.1)
вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый данный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние 
называется длиной волны. Другими словами, длина волны есть расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.
Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью. Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на 
.
Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской, а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны.
|
|
|
Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки, как функцию координат равновесного положения точки и времени:
Если источник совершает периодические колебания, то функция(22.2) должна быть периодической функцией и координат и времени. Периодичность по времениследует из того, что функция 
описывает периодические колебания точки с координатами 
; периодичность по координатам - из того, что точки находящиеся на расстоянии вдоль направления распространения волны, колеблются одинаковым образом
Ограничимся рассмотрением гармонических волн, когда точки среды совершают гармонические колебания. Необходимо отметить, что любую негармоническую функцию можно представить в виде результата наложения гармонических волн. Поэтому рассмотрение только гармонических волн не приводит к принципиальному ухудшению общности получаемых результатов.
Рассмотрим плоскую волну. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси Ох и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение точек среды из положений равновесия 
будет зависеть только от х и t:
(22.3)
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости 
имеют вид:
(22.4)
Колебания в плоскости, находящейся на расстоянии х от начала координат, отстают по времени от колебаний в на промежуток времени 
, необходимый волне для преодоления расстояния х, и описываются уравнением
, (22.5)
которое и является уравнением плоской волны, распространяющейся в направлении оси Ох.
При выводе уравнения (22.5) мы предполагали амплитуду колебаний одинаковой во всех точках. В случае плоской волны это выполняется, если энергия волны не поглощается средой.
Рассмотрим некоторое значение фазы, стоящей в уравнении (22.5):
(22.6)
Уравнение (22.6) даёт связь между временем t и местом - х, в котором указанное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив из уравнения (22.6) 
, мы найдём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя(22.6), получаем:
|
|
|
, откуда следует 
(22.7)
Таким образом, скорость распространения волны в (22.1) есть скорость распространения фазы, вследствие чего её называет фазовой скоростью.
Уравнение (22.5) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, будет описываться аналогичным уравнением:
(22.8)
Уравнения (22.5) и (22.8) обычно представляют в несколько ином виде, чтобы переменные х и t входили в уравнение волны симметрично. Для этого введем величину
, (22.9)
которую называют волновым числом.
С учётом (22.9) уравнение плоской волны (22.5) можно, записать в следующем виде:
(22.10)
Получим уравнение сферической волны. Рассуждая так же, как и в случае плоской волны, легко видеть что точки, лежащие на волновой поверхности радиуса R колеблются с фазой 
. Можно показать, что амплитуда колебаний в сферической волне даже при отсутствии поглощения среды убывает по закону 1 / R (это является следствием того, что энергия источника волны распределяется по мере удаления от него по волновым поверхностям возрастающей площади). Поэтому уравнение сферической волны можно записать в виде:
(22.11)
|
|
|
