Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон. Математически эта зависимость записывается так: σ = E ε. Здесь Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода. Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках. Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения. Δl = N l / (E А). Произведение модуля упругости на площадь сечения Е × А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса. Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков: Δl = Σ (Δli)
Деформация Деформация (англ. deformation) - это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов. На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие - с действием его нормальной составляющей.
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.
В твёрдых телах, в частности - металлах, выделяют два основных вида деформаций - упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.
Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы. Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами.
Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге
Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в) возникают касательные напряжения. Величина
Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силы Q=F, являющиеся равнодействующими касательных напряжений:
Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А, их значение определяется соотношением:
Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге):
где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода). Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь
где Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·105; чугун – 0,45·105; медь – 0,4·104; алюминий – 0,26·105; резина – 4.
2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:
где – для пластичных материалов при статической нагрузке – для хрупких –
2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:
где
Кручение 2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов 2.4.2.2. Деформации при кручении 2.4.2.3. Напряжения при кручении 2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений 2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент. Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14):
– в сечении А-А: – в сечении Б-Б: Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов
Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении
2.4.2.2. Деформации при кручении Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б) можно обнаружить:
Рис. 2.15. Схема деформации при кручении
· образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага; · квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений; · сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации; · расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется; · происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол. На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях: · поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации; · равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы; · радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются; · в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной; · материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений. На стержне круглого поперечного сечения радиусом r, заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а), обозначим на боковой поверхности образующую АD, которая под действием момента займет положение АD1. На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ. Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол
Отношение
Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений
2.4.2.3. Напряжения при кручении
Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:
В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии
т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси. Значение относительного угла
Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А, равна крутящему моменту МZ. Считая, что Интеграл Таким образом,
откуда, угол закручивания единицы длины бруса
Произведение Полный угол закручивания, рад:
Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине
Решив совместно выражения (2.35) и (2.36), получим уравнение
из которого следует, что напряжение в точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до центра сечения. При Отношение полярного момента инерции
Условие прочности принимает вид
Закон Гука при сдвиге Материалы о физике / Основы сопротивления материалов / Закон Гука при сдвиге Для определения зависимости между нагрузкой и деформацией при сдвиге проводят испытания материала на кручение. При данном испытании строится диаграмма сдвига Для пластичных материалов диаграмма сдвига аналогична диаграмме растяжения (рис. 4.5). Рис. 4.5 При рассмотрении деформации образца в пределах упругости видна линейная зависимость между относительным сдвигом
где Зависимость (4.23) выражает закон Гука при сдвиге. Между величинами модуля продольной упругости
При значении коэффициента Пуассона Запишем выражение для перемещения одной грани относительно другой (абсолютного сдвига
Формула (4.25) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|