 |
Производная оператора по времени
|
|
|
|
Пусть средняя от величины 
, тогда 
.
Ставим в соответствие величине 
оператор 
, тогда величине 
ставим в соответствие 
.
Распишем:
{ограничение 
} 
{ 
и соотношение 
, 
}=
= 
={ 
}= 
=> {распишем квадратную скобку операторов: 
, но 
, тогда
}
В классической механике 
. []-скобки Пуассона.
В квантовой механике существует связь: 
В пределе 
имеем 
.
В квантовой механике большинство операторов физических величин явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.
Интегралы движения в кв. механике.
В классической механике 
, где 
, тогда A – интеграл движения.
В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор , была интегралом движения нужно, чтобы 
.
Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы 
.
1. т. к. 
, то 
-значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.
2. 
. 
- интеграл движения.
3. 
. Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция 
.
4. 
. Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.
5. 
, тогда импульс не является интегралом движения.
Флуктуации физических величин.
Пусть есть 
- физическая величина, которая при измерении с вероятностью Wi дает величину 
, тогда мы можем говорить о среднем 
и о дисперсии 
, где
.
Мы вводили флуктуацию
,
отклонение величины от ее среднего значения.
Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие 
.
Можно показать, что 
.
Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.
|
|
|
Для двух векторов оно имеет вид
имеет смысл тот, что 
.
, 
.
Теперь если обозначить 
, 
, тогда будем также рассматривать статистическое усреднение 
. Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:
Теперь если определить 
. К тому же по определению из имеем 
, тогда 
. Из этого следует, что
.
В случае квантовой механики заменяем на , тогда
.
Задача. Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти 
Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. формулу 13.2).
Согласно определению: 
(22.1)
Поэтому остается рассчитать 
а) В случае 
числа 
находится вычислениями
Подставляя полученные значения в (22.1), получаем 
б)Для оператора 
Среднее значение будет равно
Подставим в (22.1) и получим 
Неравенство Гайзенберга.
Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.
Под канонически сопряженными понимаем величины 
и 
.
В квантовой механике для операторов 
и 
, которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем
.
Более того 
, а сам коммутатор 
имеет вид оператора 
.
Это можно записать в виде 
.
Если 
, то 
, тогда 
, где 
.
, т.к. 
и 
есть числа.
Обозначим 
. Здесь 
- единичный оператор.
Тогда из получим 
(*)
Введем обозначение
Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда
Используем эрмитовость операторов
,
,
тогда
.
Поделим левую и правую части на 
, тогда
Используем определение среднего
,
тогда
.
Или
Операторы и 
не коммутируют, тогда
.
Первое слагаемое обозначим 
, 
.
Второе слагаемое 
.
Оператор дает чисто вещественное число, а 
дает чисто мнимое число.
Тогда
,
где 
.
.
Окончательно
.
В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гейзенберга.
Если величина измерена точно, то 
,т.е. 
.
Если , то величина A измерена точно и 
, но тогда для 
, т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.
|
|
|
Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью 
. Для того чтобы 
необходимо чтобы система находилась в состоянии 
.
|
|
|
