 |
Симметричное и антисимметричное состояния.
|
|
|
|
Чтобы построить конкретные функции будем рассматривать ансамбль независимых частиц, т. е. они между собой не взаимодействуют, но могут находиться во внешнем поле.
Для i -ой частицы во внешнем поле:
Так как частицы одинаковые, то их массы одинаковые, т. е. 
.
Полный оператор
(51.1)
Для 
одинаковые аналитические выражения (закон один), но здесь разные координаты.
Когда оператор 
представим в виде (51.1), то можно провести разделение переменных
.
Тогда уравнение
разбивается на N одинаковых уравнений:
- волновая одночастичная функция.
- это набор квантовых чисел, характеризующих одночастичное состояние.
Тогда
(51.2)
- это все квантовые числа, относящиеся к рассматриваемому ансамблю.
Причем
,
где
.
Учтем действие оператора перестановки:
1) Рассмотрим симметричные состояния.
Однако из (51.2) при перестановке мы получаем другую функцию. Но в (51.2) функция еще не симметричная. Симметризуем ее:
Здесь сумма по всем нетождественным перестановкам частиц.
- постоянная нормировки
,
где
.
Рассмотрим случай двух частиц
Для данного случая
.
Так как бозоны могут находиться в неограниченном количестве в одном и том же состоянии, то здесь когда говорим о нетождественных состояниях, то имеем в виду, что эта перестановка приводит к новому состоянию.
Если перестановка происходит в одном и том же состоянии, то она тождественная и выбрасывается из рассмотрения. Для бозонов из N! перестановок 
тождественные перестановки. Тогда надо рассматривать 
перестановок, где N всего бозонов, а в 1-ом состоянии находится N1 частиц, во 2-ом N2 частиц и тд.
Симметричные состояния допускают произвольное число частиц в одночастичном состоянии.
|
|
|
Тогда нормировочный множитель
2. Рассмотрим антисимметричные состояния
Здесь
(51.3)
Чтобы учесть знак вводят понятие парной (соседней, элементарной) перестановки.
Пусть надо переставить в ряде 
цифры 1 и 4. Учтем элементарные перестановки:
2134, 2314, и т. д.
Здесь 5 элементарных перестановок. 
.
Тогда в сумму (51.3) надо поставить 
.
Если i и j в одном состоянии, то 
, 
=> 
.
Антисимметричные состояния запрещают нахождение более одной частицы в одночастичном состоянии.
В сумме (51.3) оператор 
это оператор не элементарной перестановки, а какой-то конкретной перестановки.
Итак получаем из (51.3) выражение
Рассмотрим пару частиц, тогда
Эта функция обладает свойством антисимметричности. Подействуем на нее оператором перестановки:
,
т. е.
- собственная функция оператора перестановки.
Здесь 
т. к. у фермионов в каждом одночастичном состоянии число частиц не превышает 1, т. е. 0 или 1.
В наиболее общем виде
.
Обобщим
Из этого вида вытекает принцип Паули: не более одного фермиона может находиться в одном квантовом состоянии.
Допустим две частицы в одном квантовом состоянии, тогда у них совпадают квантовые числа, т. е. 
. Тогда для детерминанта имеем 2 одинаковые строки, он равен нулю. Состояние не реализуется.
Решения задач по курсу "Квантовая теория".
Задача 1. Рассмотреть следующие операторы 
а) инверсии 
;
б) трансляции 
;
в) изменения масштаба 
;
г) комплексного сопряжения 
.
Решение. Представим 
в форме
, где 
и 
. (1.1)
Учтем, что соотношения а-г (см. условие задачи) справедливы для каждой из функций 
, входящих в суперпозицию (1.1). Тогда имеем:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
Таким образом, лишь последний из рассмотренных операторов не удовлетворяет свойству линейности.
Задача 2. Используя свойства
1. 
; (2.1)
2. 
; (2.2)
3. 
(2.3)
скалярного произведения
, 
. (2.4)
Доказать неравенство Коши-Шварца-Буняковского
|
|
|
. (2.5)
Решение. Запишем норму функции 
вида
, где 
-вещественное число 
.
Тогда из 
с учетом (2.1)-(2.3) найдем
.
Ввиду произвольности положительность нормы 
достигается при условии неположительности дискриминанта
,
поставленного в соответствие неравенству 
. Легко видеть, что из 
автоматически следует неравенство (2.5). Знак равенства в формуле (2.5) имеет место в том и только в том случае, когда функция 
и 
пропорциональны друг другу, т.е.
, 
.
Задача 3. Найти оператор 
, если
а) 
, 
; 
, 
;
б) 
, 
; 
, 
.
Решение. Подставляя явный вид 
в правую часть 
и проводя интегрирование по частям, получим
а) 
,
б) 
,
.
Здесь использовано обращение функций 
и 
в нуль на бесконечности в случае (а) и условие периодичности функции 
и 
в случае (б). В обоих случаях оператор не совпадает с оператором .
Задача 4. Показать, что произвольный линейный оператор 
может быть представлен в виде
; 
, 
.
Решение. Легко видеть, что справедливо разложение на сумму
двух операторов, первый из которых является эрмитовым:
, 
,
а второй – антиэрмитовым:
.
С их помощью будем иметь
; 
, ;
, 
.
Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.
Задача 5. Найти 
, если 
- произведение эрмитовых операторов и 
Решение. Из определения имеем
;
, 
/
Отсюда с учетом эрмитовости и найдем
. (5.1)
Легко видеть, что в общем случае 
.
Задача 6. Показать, что при условии эрмитовости 
и 
операторы 
и 
, также эрмитовы.
Решение. Из решения задач 4 и 5 следует, что линейному оператору 
можно поставить в соответствие два самосопряженных оператора:
; 
Эрмитовость операторов , и равенство (5.1) приводят к эрмитовости операторов и :
; 
.
Задача 7. Используя определение 
(7.1) и свойство 
(7.2), показать, что уравнение 
(7.3) имеет решение лишь для вещественного числа 
.
Решение. Подставляя
,
где 
- решение уравнения (7.3), в определение эрмитова оператора (7.1), запишем
.
Используя свойство (7.2), вынесем число , стоящее слева и справа от запятой, за знак скалярного произведения. Это дает
.
Сокращая на положительное число 
, получим
.
Задача 8. Доказать, что собственные функции эрмитова оператора с невырожденным дискретным спектром ортогональны.
|
|
|
Решение. В качестве функции 
и 
в определении 
рассмотрим и 
, являющиеся решениями уравнений
, 
(8.1)
соответственно. Воспользуемся определением (7.1) эрмитова оператора, записав его в форме 
.
Подставляя сюда правые части уравнений (8.1) и учитывая свойство (7.2), получим
.
В силу вещественности и невырожденности собственных значений 
и 
, отсюда найдем
; 
, 
, (8.2)
что и требовалось доказать.
Объединяя равенства 
(8.4) и (8.2), запишем условие ортонормированности
(8.3)
собственных функций эрмитова оператора с невырожденным дискретным спектром.
Задача 9. Используя свойство ортонормированности (8.2), найти коэффициенты 
разложения произвольной функции 
по базису в гильбертовом пространстве.
Решение. В качестве базиса выберем собственные функции оператора , полученные решением уравнения (7.3) и удовлетворяющие условию (8.3). Искомое разложение представим в форме
,
где суммирование проводится по всем значениям индекса 
(т.е по всем собственным значениям оператора ). Для нахождения коэффициентов запишем скалярное произведение
.
Преобразуем его с учетом свойств (7.2), 
, (8.3). Это дает
Таким образом, окончательно запишем
, 
.
Коэффициент имеет смысл проекции функции на орт гильбертова пространства.
Задача 10. Решить уравнение (7.3) для оператора
, 
Решение. Из решения задачи 3б и равенств 
(10.1) найдем
,
т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид
.
Решая его, найдем
.
Из условия периодичности (см. задачу 3б)
вытекает равенство
,
из которого получаем ограничение
; 
Из дискретности и невырожденности спектра следует, что после нормировки (8.4) функции 
будут обладать свойством (8.3).
Запишем условие нормировки (8.4) в виде
В общем случае постоянный множитель есть комплексное число. однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя
, 
(10.1)
будем предполагать вещественность константы 
. Это дает
Окончательно запишем
;
Задача 11. Решить уравнение (7.3) для оператора
|
|
|
, 
.
Решение. Из (10.1) и решения задачи 3а следует, что рассматриваемый оператор Эрмитов. Следовательно, его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид
, 
Решая его, найдем
. (11.1)
Норма функции 
неограниченна, поскольку
.
Следовательно, при соответствующем выборе константы 
функции 
и 
вида (11.1) будут удовлетворять условию 
(11.2).
Для расчета воспользуемся равенством 
. Собственный дифференциал 
для функции (11.1) имеет вид
.
Подставляя 
в определение нормы (11.3), приходим к интегралу
который после замены переменных
приводя к виду
Используя табличный интеграл
из условия нормировки получим
Как и в задаче 10, константу нормировки выберем вещественной. Таким образом, окончательно запишем
. (11.4)
Задача 12. Для стационарного состояния вида
(12.1)
описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины 
, рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:
а) 
б) 
Решение. а) По определению 
(12.2), запишем
(12.3)
Расчет числителя (12.3) дает
где использованы соотношения
Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим
Следовательно, для 
будем иметь
б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем
. (12.4)
Расчет числителя (12.4) дает
таким образом, для 
будем иметь
Задача 13. В 
- представлении решить уравнение 
(13.1) для оператора .
Решение. В одном случае имеем
(13.2)
где 
- некоторое собственное значение оператора 
. Учитывая определения
(13.6)
отсюда найдем
(13.3)
Равенство (13.3) возможно лишь при условии, что 
равна нулю всюду, кроме точки 
. Среди решений уравнения (13.2) или (13.3) не существует ни одной квадратично-интегрируемой функции. Единственной функцией, удовлетворяющей (13.2) и нормировке (11.2), является дельта-функция, определенная равенствами
, (13.4)
. (13.5)
Таким образом, функция имеет вид
.
В трехмерном случае вместо (13.2) запишем
. (13.7).
В силу (13.6) оператор 
представим в виде суммы трех коммутативных операторов: 
. Это обстоятельство позволяет для решения уравнения (13.7) использовать метод разделения переменны. Это дает
(13.8)
Решая (13.8) и учитывая равенство
(13.9)
вытекающее из определения дельта-функции в 
- мерном пространстве векторов 
:
, (13.10)
для 
найдем
.
Задача 14. В - представлении найти собственную функцию оператора импульса.
Решение. Записывая 
(14.1) в декартовых координатах
(14.2)
и учитывая, что представим в форме суммы трех коммутативных операторов (так же, как и ),
(14.3)
воспользуемся решением сходной одномерной задачи II. Уравнение (13.1) в обозначениях (14.3) принимает вид
(14.4)
Уравнения (14.4) сводятся к трем одномерным уравнениям 
|
|
|
подобным исследованному в задаче II. Из (11.4) имеем
(14.5)
Вещественная, как и в (11.4), константа 
находится из условия нормировки (11.2)
(14.6)
Подставляя (14.5) в (14.6)
и проводя под интегралом замену переменных 
, найдем
что с учетом (13.5) дает
Подставляя найденную константу в (14.5) получим
что вместе с (14.4) дает
(14.7)
Условие ортонормированности (11.2) для собственной функции (14.7) оператора импульса с учетом (13.9) и (14.6) имеет вид
(14.8)
Здесь индексами 1 и 2 нумеруются различные значения 
и 
вектора 
, тогда как в (14.4) эти же индексы используются для обозначения проекций 
и 
вектора на соответствующие оси декартовых координат.
Задача 15. В - представлении получить явный вид оператора 
, используя координаты а) декартовы; б) сферические.
Решение. а) В декартовых координатах (14.3) и (14.2) имеем
(15.1)
б) Переход от декартовых координат 
к сферическим 
определяется формулами:
(15.2)
(15.3)
Для операторов 
и 
переход (15.2) к сферическим координатам дает
Подставляя эти выражения в (15.1), запишем
(15.4)
С учетом (15.3) произведенные сферических координат и выражения в круглых скобках (15.4) приводятся к виду
(15.5)
Подставляя вторую строку (15.5) в (15.4), для оператора в сферических координатах получаем
(15.6)
Задача 16. В сферических координатах - представления найти собственную функцию оператора .
Решение. Оператор (15.6)связан с оператором задачи 10 равенством
Используя решение задачи 10, для собственных функций , удовлетворяющих уравнению
(16.1)
(где 
- собственное значение оператора , соответствующее ), получаем
(16.2)
Задача 17. В - представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .
Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
(17.1)
Интересующее нас решение ищем на отрезке 
(17.2)
Поскольку в точках 
и 
потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись в области (17.2), частица все время будет находиться в ней. Из формул 
(17.3) и
(17.4) следуют соотношения
где 
- волновая функция 
, удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера
(17.5)
совпадающему с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости от характера спектра), т.е. функция , удовлетворяющая (17.5), есть собственная функция 
оператора , соответствующая собственному значению 
. Из сказанного вытекают граничные условия 
, накладываемые на решение уравнения (17.5).
Таким образом, приходим к задаче
(17.6)
Отсюда следует:
(17.7)
Положительность собственного значения оператора вытекает из положительности 
и 
. Решение уравнения (17.7) представимо в виде суперпозиции двух элементарных состояний, которые на языке 
(17.3) интерпретируются как волны де Броля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси 
:
(17.8)
Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений
(17.9)
для неизвестных коэффициентов 
. Критерий существования етривиального решения этой системы
дает условие квантования
собственного значения (17.5). Это означает, что обладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения
где 
- пока неизвестная вещественная (в силу наличия у 
произвольного фазового множителя (10.1) это всегда возможно) константа, для функции (17.8) будем иметь
(17.10)
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
Отсюда с учетом решения задачи 12 находим
Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме
(17.11)
Задача 18. Используя формулы (17.4) и решения задач 13 и 14, найти плотности вероятностей 
и 
для стационарного состояния 
(см. задачу 17).
Решение. а) Согласно (17.3) амплитуда 
разложения состояния по базису равна
В силу нормировки 
на единицу из (17.4) и (17.11) найдем
(18.1)
б) Аналогично 
(18.2) для амплитуды 
разложения по базису 
запишем
Подставляя сюда из (17.11), вводя обозначения
и проводя интегрирование, получим
.
Учитывая равенства
для в (17.4) будем иметь
Подставляя в (17.4), запишем
(18.3)
Условие нормировки в (18.3) вытекает из равенства Парсеваля в форме
справедливой в случае непрерывного спектра собственных значений 
оператора 
.
Задача 19. Рассчитать коммутатор 
.
Решение. Для нахождения явного вида оператора 
необходимо рассмотреть результат его действия на произвольную функцию . Используя (13.6), (14.2) и определение 
(19.1), запишем
. (19.2)
Задача 20. Найти коммутатор 
.
Решение. Используя (19.2) и вид 
в - представлении 
(20.1), запишем
. (20.2)
Задача 21. Показать, что 
.
Решение. Воспользуемся соотношением
, (21.1)
легко проверяемым непосредственной подстановкой всех коммутаторов в (21.1) согласно определению (19.1).
Тогда для искомого коммутатора запишем
. (21.2)
Ввиду симметричности (относительно перестановки индексов) оператора 
и антисимметричности (согласно определению (20.1)) тензора 
двойное суммирование в (21.2) по индексам 
и 
дает нуль. Равенство
(21.3)
объясняется также и тем, что скалярный оператор инвариантен относительно преобразования
. (21.4)
Задача 22. Используя неравенство Коши-Шварца-Буняковского получить нижнюю границу для дисперсии 
наблюдаемой 
.
Решение. Выбирая в качестве и функции
и используя неравенство
, (22.1)
получим
. (22.2)
В силу эрмитовости оператор 
так же эрмитов (7.1), т.е. выполняется равенство
. (22.3)
Согласно определению (13.5) неравенство (22.2) принимает вид
.
Отсюда с учетом
(22.4)
(22.5)
получим
.
Таким образом, мы нашли, что наименьшее из возможных значений дисперсии (и среднеквадратичного отклонения 
) физической величины равно нулю.
Задача 23. Доказать, что обращается в нуль, если соотношение, по которому проводится усреднение, описывается собственной функцией оператора .
Решение. Пусть в качестве в (13.5) выбрана , удовлетворяющая (7.3). Тогда в силу
, (23.1)
(23.2)
и (13.5) запишем
.
С учетом определения (22.5) и равенства (22.3) это дает
.
Верно и обратное: равенство нулю нормы некоторой функции
реализуется лишь в случае равенства нулю этой функции:
. (23.3)
Сравнивая равенство (23.3) с уравнением (7.3), заключаем, что оно возможно, если - одна из собственных функций оператора
,
где - собственное значение оператора , соответствующее этой собственной функции.
Задача 24. Для стационарного состояния (17.11) рассчитать 
и 
(см. задачу 12).
Решение. Согласно определению 
(24.1) запишем
. (24.2)
Для получения и (с учетом 
(24.3) и 
(24.4) нам остается рассчитать 
и 
. По определению (13.5) для 
имеем
. (24.5)
а) В случае 
число находится вычислениями
,
подобными проделанным в задаче 12а. Следовательно,
. (24.6)
Подставляя (24.6) и (24.3) в (24.2), получим
. (24.7)
б) Для оператора 
(см. задачу 12б) найдем
.(27.8)
Подстановка (24.8) и (24.4) в (24.2) дает
. (24.9)
Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория".
1. Доказать соотношение:
Решение.
Введём оператор 
и разложим его в ряд Тейлора в точке 
:
При этом
Аналогично находим производные более высокого порядка:
и т.д.
Тогда
2. В состоянии частицы с волновой функцией 
, где 
, 
, a-вещественные параметры, найти распределение вероятностей различных значений координаты. Определить средние значения координаты
