Уравнение Шредингера в матричной форме.
Уравнение Шредингера: переходит в следующее:
Здесь существует нюанс: оператор
иначе эта задача имеет сложное решение, т.к. там уже Для случая Решая (38.1), имеем
Очень часто рассматривается представление в котором энергия диагональна и рассматривается переход от Шредингеровского к Гайзенберговскому описанию. Т.е. у операторов есть временная зависимость и еще мы рассматриваем энергетическое представление, т.е.
Здесь действует фактически один оператор:
Тогда оператор
т.к. операторы
тогда
Но мы знаем, что оператор
= Тогда в энергетическом представлении: Мы получили заготовку для решения задачи о линейном гармоническом осцилляторе. Для представления Гайзенберга справедливо соотношение: Уравнение движения
Это некое уравнение движения. Рассмотрим
§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе. Запишем Гамильтониан для линейного гармонического осциллятора (ЛГО): Классическая функция для ЛГО:
В квантовой механике – оператор ЛГО:
Удобно ввести безразмерный оператор энергии:
тогда
Здесь можно ввести безразмерную координату, т.к. эта величина тоже безразмерная.
Тогда оператор
где
Тогда
Теперь запишем уравнение движения в Гайзенберговском представлении
т.к.
Мы знаем, что
Дифференцируя, имеем:
Тогда
Найдем
Тогда имеем
Это уравнение движения ЛГО в квантовой механике. В классической механике
А в квантовой
Если рассмотрим
тогда
Из (39.1) и (39.3) имеем
Запишем уравнения (39.2) и (39.4) в матричной форме.
Переводим в матричную форму
Т. к.
Тогда из (39.5) имеем
Имеем уравнение движения
Посмотрим при каких условиях оно имеет решение
Получили дисперсионное уравнение. Нетривиальное его решение имеет место, если
Отсюда, примем
Получили решение дисперсионного уравнения.
§ 35*. Расчет матричных элементов операторов Имеют место отличные от нуля матричные элементы.
Установим связь между Т. к.
В матричной форме
Подставляя (40.2) в (40.1), имеем
Так как оператор координаты вещественный, то
Матрица координат симметричная относительно главной диагонали. Рассмотрим матричную форму (6*) из предыдущего параграфа и учтем, что в нем только при Рассмотрим случай
тогда
учтем, что
Так как задача одномерная, то номер состояния будет совпадать с номером энергетического уровня. Рассмотрим основное состояние
т.к. таких состояний нет, тогда
Рассмотрим
но
тогда
и т.д. Для любого
Можно записать матричные элементы оператора координаты в общем виде:
Найдем матричные элементы для оператора импульса Было получено
оператор Для оператора импульса получаем антисимметричную матрицу.
Итак
Для оператора
Получили диагональную матрицу. Тогда
Основное состояние:
Имеем энергию нулевых колебаний:
Плотность вероятности для координаты в основном состоянии:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|