 |
Сложение и вычитание свободных векторов
|
|
|
|
Лекция 1. Свободный вектор. Линейные операции над свободными векторами
Изучение раздела «Элементы векторной алгебры» преследует следующие цели:
- овладение векторным методом решения геометрических задач;
- подготовка к освоению координатного метода решения геометрических задач;
- знакомство с понятием векторного пространства – основой построения современных геометрических теорий.
Направленные отрезки
Рассматриваем геометрическое пространство, которое определялось аксиоматически и изучалось в школьном курсе геометрии.
О п р е д е л е н и е. Отрезок называется направленным, если указан порядок его концов. Обозначение: 
.
О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки 
и 
называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи 
и 
сонаправлены (противоположно направлены).
О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки 
и 
называются противоположными.
О п р е д е л е н и е. Пару совпавших точек будем называть нулевым направленным отрезком.
О п р е д е л е н и е. Длиной направленного отрезка 
назовем длину отрезка 
.
Свободный вектор
О п р е д е л е н и е. Свободным вектором 
называется множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.
В школьном курсе геометрии вектор определяется как направленный отрезок. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Но направленный отрезок – это множество точек. Таким образом, понятие равных векторов не согласуется с понятием равных множеств. По этой причине определение вектора из школьного курса нас не совсем устраивает.
Если направленный отрезок 
принадлежит вектору 
, то говорят, что – представитель вектора . Чтобы задать свободный вектор, достаточно указать какой-либо его представитель, поэтому записывают 
.
|
|
|
Запись 
означает, что направленные отрезки 
и 
имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Все нулевые направленные отрезки образуют нулевой вектор 
.
О п р е д е л е н и е. Длиной свободного вектора (обозначение ∣ 
называется длина любого его представителя.
Из определения свободного вектора вытекают следующие два свойства:
(упорядоченная пара точек однозначно определяет вектор);
(от каждой точки можно отложить вектор).
У п р а ж н е н и е. Доказать свойство 
.
О п р е д е л е н и е. Вектор 
параллелен прямой 
, если его представители параллельны прямой 
или лежат на этой прямой. Нулевой вектор считается параллельным любой прямой.
О п р е д е л е н и е. Векторы 
и 
называются коллинеарными 
, если они параллельны одной прямой.
О п р е д е л е н и е. Коллинеарные векторы называются сонаправленными (противоположно направленными), если представители этих векторов сонаправлены (противоположно направлены): 
, 
.
Два вектора равны, тогда и только тогда, когда одно множество сонаправленных отрезков одинаковой длины и другое множество сонаправленных отрезков одинаковой длины совпадают, а значит тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены и их длины равны.
О п р е д е л е н и е. Противоположно направленные векторы 
и 
одинаковой длины называются противоположными векторами. Записывают 
.
О п р е д е л е н и е. Три вектора 
, 
, 
называются компланарными, если их представители лежат в одной плоскости или параллельны этой плоскости.
Очевидно, что если два из трех векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Сложение и вычитание свободных векторов
О п р е д е л е н и е. Сумма свободных векторов 
и 
определяется по «правилу треугольника»:
Отложим от точки 
вектор 
, равный вектору 
. От точки 
отложим вектор 
, равный вектору 
. Вектор 
назовем суммой векторов 
и 
.
|
|
|
У п р а ж н е н и е. Доказать теорему о независимости суммы свободных векторов от выбора начальной точки 
.
Из определения суммы векторов следует свойство:
(аксиома треугольника).
У п р а ж н е н и е.Доказать законы сложения векторов:
1. 
(переместительный закон или коммутативность);
2. 
(сочетательный закон или ассоциативность);
3. 
;
4. 
.
О п р е д е л е н и е. Разностью свободных векторов 
и 
называется такой вектор 
, что 
.
Прибавив к обеим частям равенства вектор 
, получим 
. Таким образом, чтобы вычесть из вектора 
вектор 
, нужно к 
прибавить вектор, противоположный вектору 
.
Полезно запомнить, что если два вектора отложены от одной точки, то вектор, соединяющий их концы, является разностью этих векторов. Причем из того вектора, где сходятся две стрелочки, вычитают второй вектор: 
.
|
|
|
