 |
Конические поверхности второго порядка. Конические сечения
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через данную точку и пересекающими данную линию или имеющими относительно этой линии асимптотическое направление, называется конической поверхностью.
Если в качестве направляющей конической поверхности выбрать пару пересекающихся, пару совпавших или пару параллельных прямых и вершину, не принадлежащую плоскости этих прямых, то коническая поверхность будет представлять собой пару пересекающихся или совпавших плоскостей – вырожденные конусы.
У п р а ж н е н и е. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат 
. В плоскости, параллельной 
задан эллипс 
.
Покажите, что уравнение конической поверхности с вершиной 
и направляющей 
будет иметь вид 
– уравнение невырожденного конуса.
Рассматривая сечения невырожденного конуса различными плоскостями, не проходящими через его вершину, можно получить
· эллипс, если плоскость пересекает все образующие конуса;
· гиперболу, если плоскость параллельна двум образующим конуса;
· параболу, если плоскость параллельна только одной образующей конуса.
Эллипс, гипербола, парабола называются коническими сечениями.
Отметим, что любое однородное уравнение второй степени определяет в пространстве коническую поверхность.
Поверхности вращения
О п р е д е л е н и е. Пусть в пространстве даны линия 
и прямая 
, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Поверхность, образованная вращением линии 
вокруг прямой 
, называется поверхностью вращения.
Прямая 
называется осью вращения.
Очевидно, что ось вращения является осью симметрии, а любая плоскость, проходящая через ось вращения, – плоскостью симметрии поверхности вращения.
|
|
|
Сечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, представляют собой пары линий, равных 
, и называются меридианами.
Сечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, представляют собой окружности и называются параллелями.
Т е о р е м а. В прямоугольной системе координат 
в плоскости 
в репере 
задана линия 
. Тогда 
– уравнение поверхности, полученной вращением 
вокруг 
.
Сжатие пространства к плоскости
О п р е д е л е н и е. Отображение пространства в себя, при котором каждой точке 
соответствует точка 
такая, что 
, где 
, 
– ортогональная проекция точки 
на данную плоскость 
, называется сжатием пространства к плоскости с коэффициентом 
.
Несложно найти формулы сжатия к плоскости 
: 
.
Эллипсоид
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением эллипса вокруг его оси симметрии, называется эллипсоидом вращения.
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости в репере эллипс задан каноническим уравнением 
. Чтобы получить эллипсоид вращения с осью 
, достаточно рассмотреть линию, заданную уравнением 
.
Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси 
, будет задаваться уравнением 
.
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из эллипсоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется эллипсоидом.
Чтобы найти уравнение эллипсоида, нужно в уравнение эллипсоида вращения вместо координат точки (
) подставить их выражения через координаты 
образа этой точки при сжатии к плоскости 
. Получим каноническое уравнение эллипсоида: 
.
Самостоятельно исследовать методом сечений и построить эллипсоид.
Гиперболоиды
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, называется однополостным гиперболоидом вращения.
|
|
|
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости в репере гипербола задана каноническим уравнением 
. Чтобы получить однополостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть одну ветвь гиперболы, заданную уравнением 
.
Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси 
, будет задаваться уравнением 
– каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из однополостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется однополостным гиперболоидом.
Выполнив сжатие к плоскости 
, получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида:
.
Самостоятельно исследовать методом сечений и построить однополостный гиперболоид.
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её действительной оси, называется двуполостным гиперболоидом вращения.
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости в репере гипербола задана каноническим уравнением . Чтобы получить двуполостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть точки гиперболы, расположенные в полуплоскости 
. Это будут точки, задаваемые уравнением: 
.
Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси 
, будет задаваться уравнением 
– каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения.
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из двуполостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется двуполостным гиперболоидом.
Выполнив сжатие к плоскости , получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида:
.
Самостоятельно исследовать методом сечений и построить двуполостный гиперболоид.
Параболоиды
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением параболы вокруг её оси, называется параболоидом вращения.
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости 
в репере 
парабола задана каноническим уравнением 
. Чтобы получить параболоид вращения, достаточно рассмотреть одну ветвь параболы, заданную уравнением 
.
Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси 
, будет задаваться уравнением 
или 
– каноническое уравнение параболоида вращения.
|
|
|
О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из параболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется эллиптическим параболоидом.
Выполнив сжатие к плоскости , получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Исследование эллиптического параболоида методом сечений:
1. Из уравнения следует, что плоскости 
являются плоскостями симметрии, а ось 
– осью симметрии.
2. При пересечении эллиптического параболоида с плоскостью 
получаем точку 
– вершина эллиптического параболоида.
3. При пресечении эллиптического параболоида с плоскостью 
, параллельной плоскости 
, получаем эллипс (
) или мнимый эллипс (
).
4. При пересечении эллиптического параболоида с плоскостью 
или плоскостями ей параллельными (
), получаем параболы 
с одним и тем же фокальным параметром 
. То есть это будут одинаковые параболы, расположенные в параллельных плоскостях.
5. Аналогично, при пересечении эллиптического параболоида с плоскостью 
и параллельными ей плоскостями, будем получать одинаковые параболы с фокальным параметром 
.
Из пунктов 4 и 5 исследования эллиптического параболоида методом сечений следует другой способ получения эллиптического параболоида.
Пусть 
– две параболы с общей вершиной, общей осью, расположенные в перпендикулярных плоскостях, и их ветви направлены в одну сторону. Тогда, поверхность, полученная смещением одной параболы параллельно самой себе так, что её вершина скользит по другой параболе, будет эллиптическим параболоидом.
Пусть 
– неподвижная парабола, а 
– подвижная парабола. Можно показать, что координаты любой точки 
поверхности Ф, образованной смещением 
параллельно самой себе так, что её вершина скользит по параболе 
, и только координаты этих точек будут удовлетворять уравнению 
. То есть поверхность Ф является эллиптическим параболоидом.
Если – две параболы с общей вершиной, общей осью, расположенные в перпендикулярных плоскостях, и их ветви направлены в противоположные стороны, то уравнение поверхности Ф, полученной смещением одной параболы параллельно самой себе так, что её вершина скользит по другой параболе, будет иметь вид 
или 
. Поверхность, задаваемая таким уравнением, называется гиперболическим параболоидом (сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям, являются либо гиперболами, либо параболами).
|
|
|
|
|
|
