 |
Главные направления, главные диаметры
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным ему направлением.
Т е о р е м а. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существуют два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Записав условие сопряженности для ортогональных направлений 
и 
, получим условие
, (
)
которое позволяет найти главные направления и определить их число.
I. Пусть в () 
. Тогда 
(в противном случае получим 
). Из () получаем квадратное уравнение с неизвестным 
. Это уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант больше нуля. Следовательно, в этом случае относительно линии второго порядка существуют ровно два главных направления.
II. Если в () 
, то получаем 
. Имеем два главных направления 
и 
– направления координатных осей.
III. Если в () 
, то есть () является тождеством, то любое направление является главным относительно линии второго порядка. В этом случае уравнение линии приводится к каноническому уравнению 
. То есть линия является окружностью (вещественного, нулевого или мнимого радиуса).
О п р е д е л е н и е. Диаметр линии второго порядка называется главным диаметром, если он перпендикулярен сопряженным хордам.
Таким образом, главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка.
Из следствия о диаметрах нецентральной линии следует, что нецентральная линия имеет только один главный диаметр – ось симметрии асимптотического направления.
Раздел III. Аналитическая стереометрия
Лекция 1. Плоскость в пространстве как поверхность первого порядка. Задание полупространства. Расстояние от точки до плоскости
|
|
|
Аффинная система координат в пространстве
О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат в пространстве (аффинным репером) называется точка и три некомпланарных вектора: 
.
Прямые 
, 
, 
, определяемые точкой 
и векторами 
называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат 
, определяемая точкой 
и ортогональными ортами 
.
О п р е д е л е н и е. Вектор 
называется радиус-вектором точки 
.
О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора:
.
У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере в пространстве.
Аналогично тому, как это делалось на плоскости, с помощью координат решаются простейшие задачи
1. Определение координат вектора по координатам начала и конца в аффинной системе координат.
2. Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них в аффинной системе координат.
3. Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .
Задавая в пространстве аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными тройками действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.
Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные тройки действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.
Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.
|
|
|
Уравнение плоскости
Через данную точку 
проходит единственная плоскость 
, параллельная двум данным неколлинеарным векторам 
и 
.
Пусть в пространстве задан аффинный репер и 
, 
. Точка 
принадлежит плоскости 
тогда и только тогда, когда векторы 
компланарны, то есть вектор 
можно выразить через векторы 
и 
:
.
Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты 
точки, принадлежащей плоскости:
– параметрические уравнения плоскости.
Условием компланарности векторов 
является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
– общее уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости приводится к виду
, где 
.
Пусть плоскость 
пересекает все три оси координат в точках 
. Имеем два неколлинеарных вектора 
и 
, параллельных плоскости 
. Тогда получаем уравнение плоскости
или 
– уравнение плоскости в отрезках.
Через данную точку проходит единственная плоскость 
, перпендикулярная данному ненулевому вектору 
. Вектор 
, как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором плоскости.
Точка 
принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы 
и 
ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы выразить условие ортогональности векторов через координаты, необходим ортонормированный базис, а значит, в пространстве должна быть задана прямоугольная система координат 
. Пусть 
, 
. Выразив условие ортогональности векторов и 
через координаты, получим уравнение плоскости 
: 
.
Выводы:
1. Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать точку и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости, либо точку и нормальный вектор.
2. Уравнение плоскости приводится к виду
, где 
,
то есть плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.
Т е о р е м а. Любая алгебраическая поверхность первого порядка является плоскостью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической поверхности первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой поверхность задается уравнением 
, где 
.
Пусть 
. Приведя уравнение поверхности к виду 
, получим равносильное уравнение
.
Это есть уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
|
|
|
|
|
|
