 |
Усредненная частота и ее статистические характеристики
|
|
|
|
Рассмотренные ранее характеристики нестабильности частоты целесообразно использовать на практике только в том случае, если они могут быть измерены с помощью некоторых технических средств. При этом немаловажную роль играют удобство измерений и простота измерительной аппаратуры.
Введенные характеристики нестабильности мгновенной частоты не удовлетворяют отмеченным требованиям по следующей причине. На практике измерение частоты производится резонансным и гетеродинным методами или методами дискретного счета. Последние используются наиболее часто, позволяя обеспечить более высокую точность измерений.
Электронно-счетный частотомер, работающий по этому принципу, преобразует квазигармоническое колебание в последовательность коротких импульсов, частота следования которых равна частоте измеряемого колебания. Обычно импульсы генерируются в те моменты, когда 
= 0. В состав частотомера входит счетчик импульсов, который с помощью специальной стробирующей схемы производит счет импульсов за время 
= 
с (
– целое положительное или отрицательное число, включая 0). Если за время количество зафиксированных счетчиком импульсов оказалось равным N, то частота принимается равной 
. Очевидно, что в силу дискретного характера счета числа периодов возможна потеря единицы в младшем разряде, которая и определяет погрешность измерений. Однако эту погрешность можно уменьшить в М раз, пропустив исследуемое колебание через умножитель частоты с кратностью умножения М.
Если пренебречь этой погрешностью, то можно считать, что электронно-счетный частотомер измеряет набег полной фазы колебания Ф(t) за интервал времени и делит его на . Таким образом, частотомер регистрирует
|
|
|
, (1.9)
где 
– момент начала измерения, а – интервал усреднения. Поскольку 
на относительно небольших интервалах наблюдения – случайная функция времени, 
также будет случайной функцией и и . Из (1.2) и (1.9) нетрудно получить
= 
, (1.10)
где
(1.11)
– усредненное на интервале уклонение частоты.
Из соотношений (1.4), (1.9) и (1.10) вытекает, что
,
где 
– интервал наблюдения (или существования) колебаний.
Таким образом, 
представляет собой разность частот, усредненных на интервалах усреднения и наблюдения .
На рис. 1.2 приведен пример реализации мгновенной частоты на интервале наблюдения и показаны значения усредненных частот 
и их уклонений 
при различных и времени измерения. Очевидно, что и при изменении и при сдвиге момента начала усреднения 
и будут изменяться по случайному закону. Определим дисперсию усредненного уклонения частоты. Учитывая (1.11), нетрудно получить
= 
= 
, (1.12)
 |
где
; – время наблюдения.
Рис. 1.2
Раскрывая квадрат под знаком интеграла и учитывая соотношения (1.5)– (1.7), записанные для мгновенной фазы, (1.8) и очевидное равенство
, определим
= 
= 
=
= 8 
= 2 
. (1.13)
Последняя формула связывает дисперсию 
усредненного укло-нения частоты со спектральной плотностью мощности флуктуаций мгновенной частоты. Необходимо отметить, что полученное соотношение для дисперсии справедливо только при бесконечном времени наблюдения (существования) колебаний , которое в реальных случаях всегда конечно.
Поэтому на практике используется оценка дисперсии, а конечное время наблюдения учитывается введением в подынтегральное выражение формулы (1.13) «фильтрующего» множителя [2]:
, (1.14)
исключающего из дисперсии спектральные составляющие 
, лежащие на частотах 
< 
и адекватно не отраженные в спектре при малых временах наблюдения.
Анализ полученного выражения показывает, что в зависимости от конкретных значений и 
вклад различных составляющих энергетического спектра 
в величину дисперсии оказывается различным. Так, за счет наличия «фильтрующего» множителя 
с ростом убывает влияние на величину оценки дисперсии высокочастотных составляющих мгновенного уклонения частоты. Уменьшение 
, как уже отмечалось, приводит к тому, что за счет множителя в квадратных скобках (1.14) из рассмотрения исключаются низкочастотные составляющие .
|
|
|
Нетрудно заметить, что при 
, а при 
и 
, т. е. при увеличении интервала усреднения дисперсия усредненного уклонения частоты убывает, стремясь к нулю, а при уменьшении – приближается к дисперсии мгновенного отклонения частоты.
Таким образом, в качестве весьма универсальных характеристик нестабильности частоты могут быть приняты различные статистические функции, достаточно полно описывающие процесс изменения частоты в части как интенсивности ее уклонения от среднего значения, так и скорости этих уклонений. Однако с точки зрения унификации и стандартизации терминологии, измерительной аппаратуры и самих АГ целесообразно выбрать вполне определенные характеристики. В связи с этим на международном уровне было рекомендовано принять в качестве основных характеристик функцию спектральной плотности мощности нестабильности мгновенной частоты 
и дисперсию усредненного уклонения частоты 
.
Это объясняется, во-первых, тем, что, зная эти характеристики, можно достаточно просто проанализировать влияние нестабильности на качественные показатели радиотехнических систем различного назначения (см. 1.4), и, во-вторых, эти характеристики просто измерить.
Выбор именно двух характеристик, а не одной (хотя они и связаны друг с другом соотношением (1.14)), обусловлен тем, что 
характеризует процесс изменения частоты во временной области, а 
– в частотной (спектральной). Неудобство этих характеристик с практической точки зрения заключается в том, что они являются функциями, а не числами. Следует отметить, что в ряде случаев в качестве характеристики нестабильности целесообразно использовать высокочастотный спектр самого квазигармонического колебания 
.
|
|
|
