IV. Электростатика. V. Постоянный электрический ток. Физические основы механики, молекулярной физики и термодинамики. Основные формулы

IV. Электростатика

Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского - Гаусса и ее применение к расчету электрических полей. Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов, потенциал. Связь между потенциалом и напряженностью. Вычисление потенциала. Поле диполя. Электрическое поле в веществе. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации и его связь с поверхностной плотностью поляризационных зарядов. Напряженность поля внутри диэлектрика. Теорема Остроградского - Гаусса для диэлектриков. Вектор электрического смещения. Условия на границе раздела двух диэлектриков. Вычисление напряженности поля в диэлектрике. Проводнике в электрическом поле. Поле внутри проводника и у его поверхности. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы. Примеры вычисления емкости. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

V. Постоянный электрический ток

Постоянный электрический ток, его характеристики и условия существования. Законы Ома и Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. Обобщенный закон Ома в интегральной форме. Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение. Классическая электронная теория металлов. Вывод законов Ома и Джоуля - Ленца из электронных представлений. Сверхпроводимость. Работа выхода электронов из металла. Термоэлектронная эмиссия.

 

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ, МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

Скорость мгновенная Где r- радиус-вектор материальной точки; t- время; s- расстояние вдоль траектории движения; t - единичный вектор, касательный к траектории.	v
Ускорение: мгновенное тангенциальное нормальное полное где R- радиус кривизны траектории;  n – единичный вектор главной нормали.	а= аt= аn= а = аt+ аn; а =
Скорость угловая где j - угловое перемещение.
Ускорение угловое Связь между линейными и угловыми величинами	S=jR; v=wR; аt=eR; аn =w2R
Импульс материальной точки где m- масса материальной точки	p= mv
Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)	F= =ma
Закон сохранения импульса для изолированной системы
Радиус-вектор центра масс	rс=
Скорости частиц после столкновения: упругого центрального   неупругого где v1 и v 2 – скорости частиц до столкновения; m1 и m 2– массы частиц.	u1= -v1 +2  u2= -v2 +2   u1= u2 =
Сила сухого трения где f – коэффициент трения; Fn – сила нормального давления.	Fтр= f  Fn
Сила упругости где k– коэффициент упругости (жест- кость); Dl- деформация	Fуп = k Dl
Сила гравитационного взаимодействия где m1 и m 2– массы частиц; G- гравитационная постоянная; r – расстояние между частицами	Fтр = G
Работа силы	А=
Мощность	N = = F v
Потенциальная энергия: упругодеформированного тела гравитационного взаимодействия двух частиц тела в однородном гравитационном поле где g- напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения); h- расстояние от нулевого уровня.	П = ;  П = ;    П = m g h,
Напряженность гравитационного поля Земли где Мз- масса Земли; R- радиус Земли; h- расстояние от поверхности Земли.	G= ,
Потенциал гравитационного поля Земли	j = - ,
Кинетическая энергия материальной точки	Т =
Закон сохранения механической энергии	E = T +П = const
Момент инерции материальной точки где r- расстояние до оси вращения.	J = m r2,
Моменты инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс: тонкостенного цилиндра (кольца) радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра сплошного цилиндра (диска) радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра шара радиуса R тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню	J0 = m R 2,     J0=  mR 2; J0 =  m R 2; J0=  m l2.
Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси (теорема Штейнера) где J0- момент инерции относительно параллельной оси, d – расстояние между осями.	J = J0 +m d 2,
Момент силы где r- радиус-вектор точки приложения силы	М = r ´ F,
Момент импульса	L= Jw.
Основное уравнение динамики вращательного движения	М = .
Закон сохранения момента импульса для изолированной системы	= const.
Работа при вращательном движении	А =
Кинетическая энергия вращающегося тела	T =
Релятивистское сокращение длины где l0- длина покоящегося тела; с - скорость света в вакууме.	l = l0 ,
Релятивистское замедление времени где t0- собственное время.	t= ,
Релятивистская масса где m0- масса покоя.	m=
Энергия покоя частицы	E0 = m0c2.
Полная энергия релятивистской частицы	E = m0c2=
Релятивистский импульс	р = mv=
Кинетическая энергия релятивистской  частицы	T= E-E0= m0c2 ( .
Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом	Е2 = р2с2+E02
Теорема сложения скоростей в релятивистской механике где  u и u¢ - скорости в двух инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга со скоростью v, совпадающей по направлению с u (знак “-“) или противоположно ей направленной (знак “+”).	,
Количество вещества где – N-число молекул; NА- постоянная Авогадро; m- масса вещества; M- молярная масса.	n = ,
Уравнение Клапейрона-Менделеева где р- давление газа; V – его объем; R-молярная газовая постоянная; T – термодинамическая температура.	pV =n RT,
Уравнение молекулярно-кинетической теории газов где n-концентрация молекул; < eпост> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы; m0 – масса молекулы; < vкв> - средняя квадратичная скорость.	p= n< eпост> =  n m0< vкв> 2,
Средняя энергия молекулы где i- число степеней свободы; k- постоянная Больцмана.	< e> = kT,
Внутренняя энергия идеального газа	U = nRT
Скорости молекул: средняя квадратичная средняя арифметическая наиболее вероятная	< vкв> = = ;   < v> = = ;   < vв> = = .
Средняя длина свободного пробега молекулы где d- эффективный диаметр молекулы	< l> =(
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени	< z> =
Распределение молекул в потенциальном поле сил где П – потенциальная энергия молекулы.	n = n0exp ,
Барометрическая формула	p = p0exp .
Уравнение диффузии где D – коэффициент диффузии; r- плотность; dS- элементарная площадка, перпендикулярная оси Ох.	dm= -D dS dt,
Уравнение теплопроводности где æ - теплопроводность.	dQ = -æ  dS dt,
Сила внутреннего трения где h - динамическая вязкость	dF= -h  dS,
Коэффициент диффузии	D =  < v > < l>.
Вязкость (динамическая )	h = r < v > < l> = Dr
Теплопроводность где сn - удельная изохорная теплоемкость	æ = cn r< v > < l> = h cn,
Молярная теплоемкость идеального газа изохорная изобарная	Cn= R; Cр= R.
Первое начало термодинамики	dQ = dU + dA, dU = Cn dT, dA = p dV.
Работа расширения газа при процессе изобарном изотермическом адиабатном где g=Ср /Сn	A = p (V2-V1)= nR(T2-T1); A=n RT ln =n RT ln ; A = n Cn(T1-T2)= = = ,
Уравнения Пуассона	pV g = сonst TV g-1 = сonst Tgp g-1 = сonst
Коэффициент полезного действия цикла Карно где Q и Т – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q0 и Т0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура	h =
Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2	S2 –S1=

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Тело массой m = 1, 00 кг, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с горизонтальной пружиной, жесткость которой k = 0, 20 кН/м, а масса пренебрежимо мала. Тело сжимает пружину на s = 1, 0 см, считая от ее недеформированного положения. Коэффициент трения между телом и поверхностью m = 0, 50. Какова скорость тела в момент соударения?

 

	Решение
m = 1, 00 кг	Изменение кинетической энергии тела равно работе
k = 0, 20 кН/м	сил, действующих на него:
s = 1, 0 см	DWк = Wк2 – Wк1 = А.			(1)
m  = 0, 50	В рассматриваемом случае
	Wк1 = mv 2 / 2, Wк2  = 0.
v -?	Внешними силами являются сила трения скольжения
					(2)

где N  - сила реакции опоры, и сила упругости пружины

,

(3)

где r - величина деформации.

Так как N = mg, то модуль силы трения равен  F_тр=  m mg .

 Работа силы трения на пути s равна

Атр= – m mgs .

(4)

Работа силы упругости при сжатии пружины на величину s  

= – k s2/2.

(5)

Из (1), (4), (5) следует:

mv 2 / 2 = m mgs + k s2/2.

(3)

Таким образом

v = .

(4)

Проверка (4) на размерность:

[v ] = (( м/с²)м + (Н/м)м²/кг)^{0, 5} = ( м²/с² + (кг× м/м× с²)м²/кг)^{0, 5} = м/с.

Вычисления:

v = (2 × 0, 50× 9, 8× 10^-2 + 0, 20× 10³× 10^{- 4}/ 1, 0) ^{0, 5} = 3, 4 (м/с).

Ответ: скорость тела в момент соударения v = 3, 4 м/с.

  

2. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол a = 30° с горизонтом. Определить линейное ускорение центра диска.

	Решение
a = 30°	На тело действуют сила тяжести , сила трения  и
	реакция опоры  .
а -?	Уравнения движения тела имеют вид:
,            (1)               ,        (2) где  - момент импульса тела, , ,  - соответственно моменты силы трения, реакции опоры и силы трения. Момент импульса тела относительно оси Z,

проходящей через центр масс диска перпендикулярно плоскости XY равен

Lz  =  I z w,

(3)

где

I z  = m R2 / 2 -

(4)

– момент инерции диска массы m и радиуса R относительно оси Z. Момент

силы трения относительно оси Z равен 

MТр = FТр  R,

(5)

моменты силы тяжести и реакции опоры относительно оси Z равны нулю.

Таким образом, уравнение (1) в проекции на ось Х имеет вид

ma = mg sina - FТр,

(6)

уравнение (2) в проекции на ось Z 

I z  e = FТр  R,

(7)

где  - угловое ускорение.

В отсутствие проскальзывания e = а/ R. Тогда из (4), (5), (7) следует:

ma = 2 FТр

и с учетом (6) –

a = ( 2/3) g sina

(8)

Проверка формулы (8) на размерность очевидна.

Вычисления:

 a  = ( 2/3) × 9, 81× sin30° = 3, 27 (м/с²)

Ответ: ускорение центра масс диска равно a  = 3, 27 м/с².

3. В сосуде объемом 30 л находится смесь водорода и гелия при температуре 300 К и давлении 832 кПа. Масса смеси равна 24 г. Определить массу водорода, массу гелия, плотность и молярную массу смеси.

 

	Решение
V = 3, 0× 10-2 м3	Для каждой компоненты данной смеси применимо уравнение Менделеева-Клапейрона:
Т = 300 К		p1 V = m1 RT/ m1 ;		(1)
p = 8, 32 × 105  Па		p2 V = m2 RT/ m2 ,		(2)
m =2, 4× 10-2    кг	где p1 – парциальное давление водорода, m1 – масса
m1 = 2 × 10-3 кг/моль	водорода, m1 – его молярная масса, V – объем сосуда,
m2 = 4 × 10-3 кг/моль	Т – температура газа, R = 8, 31 Дж/(моль× К) – универ-
	сальная газовая постоянная, p2 – парциальное
m1, m2, r, m -?	давление гелия, m2 – масса гелия, m2 – его молярная
	масса.

Согласно закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонент данной смеси:

p = p1  + p2 .

(3)

Из (1)-(3) следует:

p V = ( m1 / m1 +  m2 / m2 ) RT

(4)

Так как m = m₁  + m₂ , то из (4) следуют выражения для массы водорода и массы гелия:

	m1 = m1 ( m2  pV/ RT - m ) /(m2 -  m1)		(5)
	m2 = m2 ( m - m1  pV/ RT ) /(m2 -  m1)		(6)

Проверка формул (5), (6) на размерность:  

[m] = ( кг/моль)(( кг/моль)Па× м³/(Дж/(моль× К) × К - m)/(кг/моль) = кг× Н× м× /Дж = кг.

Плотность вещества определяется формулой:

r = m / V  .

(7)

Молярная масса смеси находится по формуле

m = m / (n1  + n2),

(8)

где n₁  = m₁ / m₁, n₂  = m₂ / m₂  - число молей водорода и гелия соответственно.

Из ( 4) и (8) следует:

m = m RT / p V.

(9)

Проверка формулы (9) на размерность:  

[m] = кг (Дж/(моль× К)) × К / Па× м³ = (кг /моль) Дж / Н× м   = кг /моль

  Вычисления:

  m₁ = 2× 10^-3(4× 10^-3× 8, 32× 10⁵× 3, 0× 10^-2/8, 31× 300-2, 4× 10^-2)/(4- 2)× 10^-3 = 1, 6× 10^-2 (кг);

 m₂ = 4× 10^-3(2, 4× 10^-2 - 2× 10^-3× 8, 3× 10⁵ × 2, 0× 10^-2/8, 31× 300)/(4- 2)× 10^-3 = 0, 8× 10^-2 (кг);

r = 2, 4× 10^-2  / 3, 0× 10^-2   = 0, 80 (кг/м³);

m = 0, 240 × 8, 31× 300/ 830× 10³× 0, 200 = 3, 60× 10^-3  (кг /моль).

Ответ: масса водорода m₁ = 16 г; масса гелия  m₂ = 8 г;

плотность смеси r = 0, 80 кг/м³; молярная масса смеси m = 3, 60× 10^-3  кг /моль.

4.   Объем углекислого газа, находящегося под давлением 110 кПа, увеличился от 1, 00 л до 2, 00 л. Определить количество теплоты, изменение внутренней энергии и работу расширения газа, если расширение происходило 1) изотермически; 2) изобарно; 3) адиабатно.

	Решение
p = 1, 10× 105 Па	Согласно первому началу термодинамики, количество
V1 =1, 00 × 10-3 м3	теплоты Q, полученное газом, расходуется на
V2 =2, 00 × 10-3 м3  m  = 44 × 10-3 кг/моль	увеличение его внутренней энергии U и на совершенную им работу А:
i = 6			Q = DU  + А.			(1)
1) Т = const	Внутренняя энергия идеального газа определяется
2) p = const	выражением:
3) Q  = 0				U = ( i /2) m RT/ m		(2)
DU  ;  А; Q -?	или с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона:
			p V = m RT/ m				(3)
		U = ( i /2) p V,					(4)

где p, Т , V, m – давление температура, объем и масса газа, m. i  - молярная масса газа и число степеней свободы его молекул.

Работа газа при изменении его объема определяется по формуле:

.

(5)

1) В изотермическом процессе (Т = const) согласно (2) U = const, DU=0 .

Так как     p = m RT/ V m, то

.

(6)

Проверка формулы (6) на размерность:  

[А] = Па × м ³ = Н× м = Дж.

Вычисления:

[А] = 1, 10× 10⁵ × 1, 00 × 10^-3 × ln 2 = 76 (Дж).

  Согласно (1) в данном случае Q  = А.

2) В изобарном процессе ( p = const ) согласно (4)

D U = ( i /2) p ( V2 - V1 ),

(7)

Проверка формулы (7) на размерность:  

[D U ] = Па × м ³ = Н× м = Дж.

Вычисления:

D U  = ( 6/2) × 1, 10× 10⁵ × ( 2, 00 × 10^-3  -  1, 00 × 10^-3) = 330  (Дж).

Согласно (5) в данном случае 

А =    p ( V2 - V1 )

(8)

Проверка формулы (8) на размерность:  

[ А ] = Па × м ³ = Н× м = Дж.

Вычисления:

  А  = 1, 10× 10⁵ × ( 2, 00 × 10^-3  -  1, 00 × 10^-3) = 110  (Дж).

Количество теплоты, полученное газом в данном процессе в соответствии с (1), (7), (8) находится по формуле

Q   =  (( i /2) + 1 ) p ( V2 - V1 )

(9)

Проверка формулы (9) на размерность аналогична проверке формул (7) и (8).

Вычисления:

  Q  = (3 +1) × 1, 10× 10⁵ × ( 2, 00 × 10^-3  -  1, 00 × 10^-3) = 440  (Дж).

В адиабатном процессе ( Q = 0 ) согласно (1)   

DU   = - А.

(10)

Вычисление величины DU   в данном случае проводится с помощью формулы (4):

D U = ( i /2) ( p2 V2 - p1 V1 )

(11)

В соответствии с уравнением Пуассона

p V g = const,

(12)

где g = ( i + 2 )/ i

p2 = p1 (V1 /V 2)g.

(13)

Согласно (10), (11), (12)

	D U = ( i /2) p1V1 ((V1 /V 2)g-1 - 1 )		(14)
	А = ( i /2) p1 V1 ( 1 -(V1 /V 2)g-1  )		(15)

Проверка формул (14), (15) на размерность аналогична проверке формул (7) и (8).

Вычисления:

g = ( 6+ 2 )/6 = 1, 33; D U = 3 × 1, 10× 10⁵ × 1, 00 × 10^-3 ( 0, 5 ^{0, 4}  - 1) = - 73, 2 (Дж);

А = 61 Дж.

Ответ: 1) в изотермическом процессе D U  = 0;  А =  76 Дж. Q  = 76 Дж;

2) в изобарном процессе D U  = 330  Дж; А =   110  Дж; Q  = 440  Дж;

3) в адиабатном процессеD U = - 73, 2 Дж; А =73, 2 Дж; Q = 0.  

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: