 |
Обратимые и союзные элементы.
|
|
|
|
Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является 
. Если гауссово число 
обратимо, то, по определению, существует 
такое, что 
. Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим 
. Но эти нормы натуральны, следовательно 
. Значит, по свойству 4, 
. Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку 
. Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть 
, 
.
Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что 
делится на 
, если существует 
такое, что 
.Для любых гауссовых чисел 
, а также обратимых 
справедливы свойства.
(7)
(8)
(9)
(10)
, где 
(11)
(12)
Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества 
ведут себя по отношению к делимости точно так же как и 
, и называются союзными с 
. Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный 
.
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.
Пусть надо поделить 
на 
, но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить 
, и при этом 
должно быть «мало». Тогда покажем, чту брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.
|
|
|
Лемма 1. О делении с остатком.
В кольце 
возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых и 
найдется 
такое, что 
. В качестве 
можно взять ближайшее к комплексному числу 
гауссово число.
Доказательство.
Разделим на во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть 
. Округлим действительные числа 
и 
до целых, получим соответственно 
и 
. Положим 
. Тогда
.
Умножая сейчас обе части неравенства на 
получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что 
. Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число 
, которое как нетрудно видеть, является ближайшим к 
.
Ч.Т.Д.
НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел 
называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.
Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.
Пусть и данные гауссовы числа, причем 
. Разделим с остатком 
на . Если остаток будет отличен от 0, то разделим на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:
, где 
, где 
, где 
……………………….
, где 
Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.
Теорема 2. О существовании НОД.
В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса 
и 
последний ненулевой остаток есть НОД(
).
Доказательство.
Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.
|
|
|
1.Рассмотрим равенства снизу вверх.
Из последнего равенства видно, что 
.Следовательно, 
как сумма чисел делящихся на 
. Так как и 
, то следующая строчка даст 
. И так далее. Таким образом, видно, что 
и 
. То есть 
это общий делитель чисел 
и .
Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть делится на любой другой их общий делитель.
2. Рассмотрим равенства сверху вниз.
Пусть 
— произвольный общий делитель чисел 
и 
. Тогда 
, как разность чисел делящихся на , действительно из первого равенства 
. Из второго равенства получим, что 
. Таким образом, представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на , мы из предпоследнего равенства получим, что делится на .
Ч.Т.Д.
|
|
|
