 |
Их производных и интегралов
|
|
|
|
Сущность операторного метода заключается в том, что функции 
вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция 
комплексной переменной 
, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и, далее, путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение 
заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
 .
| (14) |
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается как
,
или
.
Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (14) необходимо более быстрое убывание модуля 
. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе переходных режимов [6].
Таблица 1
Изображения типовых функций
Оригинал 
| А | 
| 
| 
| 
| 
|
Изображение 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
Отметим основные свойства изображений функций.
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:
 .
| (15) |
2. При умножении функции на постоянный коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
 .
| (16) |
Используя эти свойства и данные табл. 1, определим изображение экспоненциальной функции:
.
Запишем изображение производной функции. В курсе ТОЭ [1, 2] доказывается, что если существует изображение функции 
, то 
,
где 
– начальное значение функции .
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:
| (17) |
или при нулевых начальных условиях из (17)
,
отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности 
.
Аналогично для интеграла: если 
, то 
.
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
 .
| (18) |
Тогда изображение
 .
| (19) |
При нулевых начальных условиях из (19) 
и операторное сопротивление конденсатора 
.
Глава 6. Законы Ома и Кирхгофа
В операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь 
(рис. 13), выделенную из некоторой сложной цепи и содержащую R, L, C и источник ЭДС 
.
Рис. 13
Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений токов и напряжений можно записать:
,
тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
;
 ,
| (20) |
где 
– операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление 
соответствует комплексному сопротивлению ветви 
в цепи синусоидального тока при замене оператора р на 
. Слагаемое 
представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i (0) до коммутации. Слагаемое 
представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем 
непосредственно до коммутации.
|
|
|
Уравнение (20) является математической записью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 13 можно составить операторную схему замещения, представленную на рис. 14. В соответствии с (20) внутренняя ЭДС направлена согласно с направлением тока I(p), внутренняя ЭДС – встречно току.
Рис. 14
Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю:
 .
| (21) |
Второй закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура:
 .
| (22) |
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета внутренних ЭДС (ненулевых начальных условий). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде:
 .
| (23) |
В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 15 для двух случаев: а) 
; б) 
.
а б
Рис. 15
В первом случае (рис. 15, а) при нулевых начальных условиях определим в соответствии с законом Ома в операторной форме (20) изображения токов 
, 
:
;
;
.
Во втором случае при ненулевых начальных условиях следует учесть внутреннюю ЭДС и составить операторную схему замещения (рис. 15, б). Изображения токов в ней определяются любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда 
1; 
и 
.
|
|
|
