Оценивание коэффициентов многофакторной линейной регрессии
Практическая работа 2
Пример
Регрессионный анализ фондоотдачи
На основе линейной регрессионной модели исследовать зависимость фондоотдачи в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) (у) от среднечасовой производительности вращающихся печей (
) и удельного веса активной части ОПФ (
).
В таблице 1 приводятся данные п = 15 цементных заводов страны.
Таблица 1
Исходные данные
№
п/п
| Фондоотдача, y
| Среднечасовая производительность печей,
| Удельный вес активной части ОПФ (%),
|
1
| 26
| 37
| 39
|
2
| 33
| 33
| 40
|
3
| 24
| 15
| 35
|
4
| 29
| 36
| 48
|
5
| 42
| 26
| 53
|
6
| 24
| 24
| 42
|
7
| 52
| 15
| 54
|
8
| 56
| 33
| 54
|
9
| 26
| 44
| 50
|
10
| 45
| 34
| 53
|
11
| 27
| 63
| 46
|
12
| 54
| 8
| 50
|
13
| 34
| 44
| 43
|
14
| 48
| 43
| 55
|
15
| 45
| 31
| 51
|
Решение
Для определения оценок
согласно
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image205.gif)
найдем предварительную симметричную матрицу
, которая имеет вид
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image209.gif)
и равна для нашего примера
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image211.gif)
вектор имеет вид
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image213.gif)
и для нашего примера равен
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image215.gif)
Для получения обратной матрицы
можно воспользоваться методом полного исключения переменных Жордана—Гаусса.
Таким образом, получена обратная матрица:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image219.gif)
Подставив найденный вектор
и матрицу
в выражение
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image223.gif)
найдем вектор оценок:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image225.gif)
Таким образом, ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image227.gif)
И оценка уравнения регрессии имеет вид
.
Для проверки значимости уравнения регрессии согласно выражению
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image231.gif)
нужно найти
и
.
Составим вспомогательную таблицу 2
Таблица 2
Вспомогательная таблица
|
|
|
|
|
|
1
| 26
| 37
| 39
| 6,779 073
| 0,606 954 7
|
2
| 33
| 33
| 40
| 29, 532 124
| 12,026 163
|
3
| 24
| 15
| 35
| 27, 615 725
| 13,073 467
|
4
| 29
| 36
| 48
| 40, 643 112
| 135,562 05
|
5
| 42
| 26
| 53
| 51, 290 247
| 86,308 689
|
6
| 24
| 24
| 42
| 35,350 038
| 128,823 36
|
7
| 52
| 15
| 54
| 56,225 982
| 17,858 923
|
8
| 56
| 33
| 54
| 50,613 366
| 29,015 825
|
9
| 26
| 44
| 50
| 41,160 222
| 229,832 33
|
10
| 45
| 34
| 53
| 48,795 751
| 14,407 725
|
11
| 27
| 63
| 46
| 29,212 582
| 4,895 519 1
|
12
| 54
| 8
| 50
| 52,385 454
| 2,606 758 7
|
13
| 34
| 44
| 43
| 30,619 601
| 11,427 097
|
14
| 48
| 43
| 55
| 49,001 049
| 1,002 099 1
|
15
| 45
| 31
| 51
| 49,719 581
| 2,956 958 8
|
Итого
| 565
| 486
| 713
|
| 690,403 85
|
Откуда следует, что
.
;
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image257.gif)
Проверим на уровне значимости
значимость уравнения регрессии.
H 0:
.
.
По таблице F -распределения для
и чисел степеней свободы
и
найдем критическое значение
. Так как
гипотеза H 0:
отвергается, т. е. хотя бы один элемент вектора
не равен нулю.
Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем оценку ковариационной матрицы вектора b. Для этого достаточно элементы обратной матрицы
умножить на
. Тогда будем иметь:
.
Из статистического смысла ковариационной матрицы следует, что оценки дисперсии коэффициентов уравнения регрессии
соответственно равны:
,
,
Проверим значимость коэффициента
, т. е. гипотезу H 0:
.
.
По таблице t-распределения для значений
и
.
Так как
, гипотеза о том, что
, не отвергается, т. е.
незначим.
Проверим теперь гипотезу H 0:
.
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image301.gif)
Так как
, гипотеза H 0:
отвергается, т. е.
не равен нулю (
).
Перейдем к алгоритму пошагового регрессионного анализа и исключим из рассмотрения переменную
, имеющую незначимый коэффициент
, уравнения регрессии. Уравнение регрессии будем искать в виде
. Исходные данные для оценки
и
, представлены в табл. 3.
Таблица 3
Исходные данные
|
|
|
|
|
1
| 26
| 39
| 25,467 91
| 0,283 119 7
|
2
| 33
| 40
| 26,884 0
| 37,405 456
|
3
| 24
| 35
| 19,803 55
| 17,610 192
|
4
| 29
| 48
| 38,212 72
| 84,874 209
|
5
| 42
| 53
| 45,293 17
| 10,844 968
|
6
| 24
| 42
| 29,716 18
| 32,674 713
|
7
| 52
| 54
| 46,709 26
| 27,991 929
|
8
| 56
| 54
| 46,709 26
| 86.317 849
|
9
| 26
| 50
| 41,044 9
| 226,349 01
|
10
| 45
| 53
| 45,293 17
| 0,085 948 6
|
11
| 27
| 46
| 35,380 54
| 70,233 45
|
12
| 54
| 50
| 41,044 9
| 167,834 61
|
13
| 34
| 43
| 31,132 27
| 8,223 875 8
|
14
| 48
| 55
| 43,125 35
| 0,157 126
|
15
| 45
| 51
| 42,460 99
| 6,446 571 7
|
Итого
| 565
| 713
|
| 777,191 56
|
Тогда матрица будет
иметь вид:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image320.gif)
и
.
Обратную матрицу
вычислим по формуле
,
где
– алгебраическое дополнение к элементу
матрицы
.
Найдем определитель матрицы ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image333.gif)
,
обратную матрицу
,
и вектор
.
Тогда вектор оценок равен:
,
а оценка уравнения регрессии имеет вид:
.
Из таблицы 3.3 найдем несмещенную оценку остаточной дисперсии:
,
где
,
.
Оценка ковариационной матрицы вектора b равна:
.
отсюда
.
Для проверки значимости коэффициента β2, т.е. гипотезы H 0: β2=0, найдем:
.
Определим критическое значение для
;
по таблице
. Так как
, нулевая гипотеза отвергается (
). Таким образом, окончательно оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид
.
Коэффициент регрессии при
показывает, что при росте удельного веса активной части на единицу ОПФ (%) фондоотдача в среднем увеличивается на 1,416 09 единиц.
Найдем теперь с доверительной вероятностью
интервальную оценку для коэффициента регрессии
.
,
где
находим по таблице t-распределения при
и
. Отсюда
;
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image384.gif)
Доверительную границу для условного математического ожидания у найдем в точке, определяемой вектором начальных условий:
с надежностью
.
Предварительно найдем матричное произведение
Интервальная оценка для
равна:
.
Отсюда
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza12/4248225072871.files/image396.gif)
и окончательно
.
Таким образом, с доверительной вероятностью
мы можем гарантировать, что при значении
удельный вес активной части ОПФ завода будет находиться в интервале от 36,403 до 45,686%.
Таблица
Варианты заданий
Номер предпри-
ятия
| Стоимость промышленно-
производственных основных фондов,
тыс. руб.
| Валовая продукция в оптовых ценах предприятия, тыс. руб.
| Среднесписочная численность промышленно– производственного персонала, чел.
| Среднесписочная численность рабочих, чел.
|
1
| 4999
| 5349
| 420
| 331
|
2
| 6929
| 6882
| 553
| 486
|
3
| 6902
| 7046
| 570
| 498
|
4
| 10097
| 7248
| 883
| 789
|
5
| 8097
| 5256
| 433
| 359
|
6
| 11116
| 14090
| 839
| 724
|
7
| 4880
| 3525
| 933
| 821
|
8
| 7355
| 5431
| 526
| 428
|
9
| 10066
| 7680
| 676
| 607
|
10
| 7884
| 8226
| 684
| 619
|
11
| 4360
| 4980
| 400
| 318
|
12
| 8380
| 6789
| 520
| 419
|
13
| 7956
| 5430
| 856
| 327
|
14
| 4624
| 8935
| 756
| 624
|
15
| 3650
| 1243
| 385
| 129
|
16
| 5648
| 6548
| 850
| 758
|
17
| 6457
| 1254
| 654
| 546
|
18
| 2504
| 4789
| 564
| 410
|
19
| 1276
| 2865
| 125
| 108
|
20
| 9315
| 8754
| 825
| 564
|
21
| 1424
| 2569
| 564
| 420
|
22
| 10556
| 9856
| 987
| 876
|
23
| 8564
| 5424
| 253
| 213
|
24
| 5233
| 2565
| 657
| 540
|
25
| 1274
| 2458
| 856
| 756
|
26
| 6459
| 6658
| 874
| 712
|
27
| 9854
| 8821
| 958
| 814
|
28
| 6588
| 5502
| 758
| 615
|
29
| 8877
| 8765
| 458
| 314
|
30
| 6546
| 5245
| 658
| 512
|
Выбор варианта
Студент с последней цифрой i в зачетке выбирает из таблицы 20 строк
от i-й до i+19-й
Если i =0, то от 10-й до 29-й
Воспользуйтесь поиском по сайту: