ПР№2. Статистические методы обработки данных

Методические рекомендации для компьютерного практикума

ПР№1 Математическая модель расчета строительных конструкций

 

Задание: решить задачу о изгибе растянуто-изогнутой балки, представленную в теории (задача (1.8.)).

Исходные данные (варианты заданий):

, ,

,

где G - предпоследняя цифра номера зачетной книжки, S- последняя цифра номера зачетной книжки. Представить результаты счета для , то есть 8 конечных элементов.

Пример программы на языке Matlab

function Lab

% Задание количества точек разбиения

n=input('Введите n=');

% Задания номера учебной группы (g) и номера студента (s)

g=input('Введите g=');

s=input('Введите s=');

% Задание длины балки

dl=input('Введите dl=');

% Задание жесткости балки

EJ=g/8;

% Задание осевой силы

P=48*s;

% Формирование глобальной матрицы жесткости

% и глобального вектора нагрузок

Kg=zeros(n,n);

Rg=zeros(n,1);

h=dl/(n-1);

Ph=P*h/6;

EJh=EJ/h;

K0=EJh+2*Ph;

K1=Ph-EJh;

Kg(1,1)=1.; Kg(n,n)=1.;

for i=2:n-1

x=(i-1.5)*h;

Rg(i)=(M(x,g,s,dl,EJ,P)+M(x+h,g,s,dl,EJ,P))*h/2;

if(i>2)

Kg(i,i-1)=K1;

end

Kg(i,i)=2*K0;

if(i<n-1)

Kg(i,i+1)=K1;

end

end

% и глобального вектора нагрузок

disp('Глобальная матрица жесткости Kg');

for i=1:n

fprintf('%6.2f',Kg(i,:));

fprintf('\n');

end

disp('Глобальный вектор нагрузок Rg')

fprintf('%12.4f \n',Rg);

% Решение разрешающей системы линейных алгебраических

% уравнений, распечатка результата

y=Kg\Rg;

disp('Вектор-решение y')

fprintf('%12.4f \n',y);

function Res=M(x,g,s,dl,EJ,P)

Res=(g+s)/25.*(2*EJ+P*x*(dl-x));

 

ПР№2. Статистические методы обработки данных

Однофакторный дисперсионный анализ

Справочная информация по технологии работы с пакетом "Анализ данных" в среде Excel

Режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ» слу­жит для выяснения факта влияния контролируемого фактора А на результативный признак Y на основе выборочных данных.

В диалоговом окне данного режима задаются следу­ющие параметры Входной интервал.

1.Группирование.

2. Метки в первой строке/Метки в первом столбце.

4. Альфа — вводится уровень значимости а, равный вероятно-
сти возникновения ошибки первого рода (отвержение нулевой
гипотезы).

5. Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая книга.

 

Пример 1. Выборочные данные об объеме работ, выполнен­ных на стройке (за смену) четырьмя бригадами, приведены в табл. 1, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

 

Таблица 1

	Объем выполненной работы
Номер смены	Бригада 1	Бригада 2	Бригада 3	Бригада 4
1	140	150	148	150
2	144	149	149	155
3	142	152	146	154
4	145	150	147	152

При уровне значимости   = 0,05 требуется выяснить, зависит ли объем  выполненных работ от работающей бригады.

Для решения задачи используем режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ».

Но прежде чем проводить анализ данных в сгенерированных таб­лицах, покажем, как с помощью критерия Бартлетга проверить гипо­тезу о равенстве генеральных дисперсий Н₀:  .

Таблица 2

Данные

 

	B	C	D	E	F
9		Бригада 1	Бригада 2	Бригада 3	Бригада 4
10	Число наблюдений	4	4	4	4
11	Оценки	4,92	1,58	1,67	4,92
12	Оценки	3,27
13		0,878
14		1,540
15		7,81

 

Содержимое ячеек в табл. 2:

• в массиве C10:F10 определяются объемы выборок  (напри­мер, ячейка С10 содержит формулу =СЧЕТ(С5:С8));

• в массиве C11:F11 вычисляются несмещенные оценки  групповых дисперсий  (например, ячейка С11 содержит форму­лу =ДИСП(С5:С8));

• ячейка С12 содержит формулу {=СУММПРОИЗВ(С10:F10-1;C11:F11/CУMM(C10:F10-l)} - рассчитывается объединенная оценка  ;

• ячейка С13 содержит формулу {=1/(1+1/(3*(4-1))*(СУММ (l/(C10:F10-l))-l/CУMM(C10:F10-l)))} - вычисляется значе­ние коэффициента ;

• ячейка С14 содержит формулу {=С13*СУММПРОИЗВ(С10::F10-1;LN(C12/C11:F11))} - рассчитывается значение критерия Бартлетга w_p;

• ячейка С16 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,05;3) - опреде­ляется значение правосторонней критической точки .

Так как w_p = 1,540 не попадает в критическую область (7,81; + ), то гипотеза Н₀: принимается и можно приступить к проверке гипотезы Н₀:  Показатели, рассчитан­ные в ходе проверки данной гипотезы, представлены в табл. 3 и 4.

Таблица 3

	B	C		D	Е	F
19	Однофакторный дисперсионный анализ
20
21	ИТОГИ
22	Группы		Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
23	Бригада 1		4	571	142,75	4,92
24	Бригада 2		4	601	150,25	1,58
25	Бригада 3		4	590	147,5	1,67
26	Бригада 4		4	611	152,75	4,92

 

 

Таблица 4

 

	B		C	D	Е	F	G	H
29	Дисперсионный анализ
30	Источник вариации	SS		df	MS	F	P- значение	F критическое
31	Между группами	220,19		3	73,40	22,44	3,28Е-0,5	3,49
32	Внутри групп	39,25		12	3,27
33
34	Итого	259,44		15

 

Табл. 4 называется таблицей однофакторного дисперсионного анализа. Как видим, расчетное значение F -критерия F_p=22,44, а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; + ). Так как F_p попадает в критическую область, то гипоте­зу H ₀ о равенстве групповых математических ожиданий отверга­ем, т.е. считаем, что объем ежедневной выборки зависит от рабо­тающей бригады.

Выборочный коэффициент детерминации

показывает, что 85% общей выборочной вариации ежедневного объема выработки связано с работающей бригадой.

Рассмотрим более подробно механизм расчета основных по­казателей, представленных в табл. 4.

В ячейке С31 (показатель SS между группами) рассчитывается взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней:

.

В ячейке С32 (показатель SS внутри групп) вычисляется оста­точная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уровня от своей выборочной средней:

.

В ячейке СЗЗ (показатель SS итого) рассчитывается общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:

 или .

В ячейках D31.D33 (показатель df) определяются степени свободы:

k _ф = m — 1 = 4—1 = 3;

k _o =п — т = 16 — 4 = 12;

k _Y = (m — 1) + (п — т) = п — 1 = 16 — 1 = 15.

В ячейках Е31:Е32 (показатель MS) вычисляются несмещен­ные оценки и :

;

.

В ячейке F31 (показатель F)вычисляется расчетное значение критерия F_p:

 

.

В ячейке G31 (показатель Р-значение) определяется Р-значение, соответствующее расчетному значение критерия F_p, с помо­щью формулы

 

=FPACП(F31;D31;D32).

 

В ячейке Н31 (показатель F критическое) рассчитывается значение правосторонней критической точки  с помощью формулы

=FPACПOБP(0,05;D31;D32)

 

ПР№2. Многофакторная линейная регрессия

 

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического вы­ражения связи зависимой случайной величины Y (называемой также результативным признаком) с независимыми случайными величинами  (называемыми также факторами).

Форма связи результативного признака Y с факторами  получила название уравнения регрессии. В зависимости от типа выбранного уравнения различают линейную и нелинейную ре­грессию (в последнем случае возможно дальнейшее уточнение: квадратичная, экспоненциальная, логарифмическая и т. д.).

В зависимости от числа взаимосвязанных признаков различа­ют парную и множественную регрессию. Если исследуется связь между двумя признаками (результативным и факторным), то рег­рессия называется парной, если между тремя и более признаками - множественной (многофакторной) регрессией.

При изучении регрессии следует придерживаться определен­ной последовательности этапов:

1.Задание аналитической формы уравнения регрессии и опре­деление параметров регрессии.

2.Определение в регрессии степени стохастической взаимо­связи результативного признака и факторов, проверка общего ка­чества уравнения регрессии.

3.Проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии и определение их доверительных интервалов.

Основное содержание выделенных этапов рассмотрим на при­мере множественной линейной регрессии, реализованной в режи­ме «Регрессия» надстройки Пакет анализа Microsoft Excel.

 

 

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Регрессия» служит для расчета параметров уравнения линейной регрессии и проверки его адекватности иссле­дуемому процессу

 

В диалоговом окне данного режима  задаются следу­ющие параметры:

1.Входной интервал Y — вводится ссылка на ячейки, содержа­щие данные по результативному признаку. Диапазон должен со­стоять из одного столбца.

2.Входной интервал X— вводится ссылка на ячейки, содержа­щие факторные признаки. Максимальное число входных диапа­зонов (столбцов) равно 16.

3.Метки в первой строке/Метки в первом столбце.

4.Уровень надежности — установите данный флажок в актив­ное состояние, если в поле, расположенное напротив флажка, не­обходимо ввести уровень надежности, отличный от уровня 95 %, применяемого по умолчанию. Установленный уровень надежнос­ти используется для проверки значимости коэффициента детер­минации R² и коэффициентов регрессии а_i.

Примечание. При неактивном флажке Уровень надежности в таблице па­раметров уравнения регрессии генерируются две одина­ковые пары столбцов для границ доверительных интервалов.

5.Константа-ноль — установите данный флажок в активное состояние, если требуется, чтобы линия регрессии прошла через начало координат (т. е. а₀ = 0).

6.Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая кни­га

7.Остатки — установите данный флажок в активное состоя­ние, если требуется включить в выходной диапазон столбец остат­ков.

8.Стандартизованные остатки — установите данный флажок в активное состояние, если требуется включить в выходной диапа­зон столбец стандартизованных остатков.

9. График остатков – установите данный флажок в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечные грпфики зависимости остатков от факторных признаков .

10. График подбора - установите данный флажок в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечные гра­фики зависимости теоретических результативных значений   от факторных признаков .

11. График нормальной вероятности — установите данный фла­жок в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечный график зависимости наблюдаемых значений у от автоматически формируемых интервалов персентилей. График строится на основе генерируемой таблицы «Вывод вероятности»

Пример

Данные о прибыли предприятий Y, величине оборотных средств  и стоимости фондов  приведены в табл. 1, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

Таблица 1

 

	B	C	D	Е
2	Номер предприятия	Прибыль Y, млн руб.	Величина оборотных средств , млн руб.	Стоимость основных фондов , млн руб.
3	1	188	129	510
4	2	78	64	190
5	3	93	69	240
6	4	152	87	470
7	5	55	47	110
8	6	161	102	420

 

По представленным данным необходимо определить парамет­ры уравнения линейной регрессии и провести его анализ.

Для решения задачи используем режим работы «Регрессия». Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, а рассчитанные в данном режиме показатели - в табл. 2- 6.

 

Таблица 2

 

	B	C
11	ВЫВОД ИТОГОВ
12
13	Регрессионная статистика
14	Множественный R	0,997
15	R -квадрат	0,995
16	Нормированный R -квадрат	0,991
17	Стандартная ошибка	5,050
18	Наблюдения	6

 

В табл. 2 сгенерированы результаты по регрессионной ста­тистике. Эти результаты соответствуют следующим статистичес­ким показателям:

• Множественный R - коэффициенту корреляции R;

• R-квадрат - коэффициенту детерминации R²;

• Стандартная ошибка — остаточному стандартному откло­нению

;

• Наблюдения - числу наблюдений п.

В табл. 3 сгенерированы результаты дисперсионного анали­за, которые используются для проверки значимости коэффициен­та детерминации R².

 

Таблица 3

 

	B	C	D	Е	F	G
20	Дисперсионный анализ
21		df	SS	MS	F	Значимость F
22	Регрессия	2	13962,33	6981,16	273,74	0,0004
23	Остаток	3	76,51	25,50
24	Итого	5	14038,83

 

Столбцы табл.  имеют следующую интерпретацию:

1. Столбец df - число степеней свободы.

Для строки Регрессия число степеней свободы определяется количеством факторных признаков т в уравнении регрессии .

Для строки Остаток число степеней свободы определяется числом наблюдений п и количеством переменных в уравнении ре­грессии т + 1: .

Для строки Итого число степеней свободы определяется суммой .

2. Столбец SS - сумма квадратов отклонений.

Для строки Регрессия — это сумма квадратов отклонений тео­ретических данных от среднего:

.

Для строки Остаток - это сумма квадратов отклонений эмпи­рических данных от теоретических:

.

Для строки Итого - это сумма квадратов отклонений эмпири­ческих данных от среднего:

или .

3. Столбец MS - дисперсии, рассчитываемые по формуле

 

.

Для строки Регрессия - это факторная дисперсия .

Для строки Остаток - это остаточная дисперсия .

 

4.Столбец F - расчетное значение F -критерия Фишера F_p,
вычисляемое по формуле

 

.

5. Столбец Значимость F— значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значению F_p. Определяется с помощью функции

= FРАСП(F_p; df (pегрессия); df (остаток)).

В табл. 4 сгенерированы значения коэффициентов регрес­сии a_i и их статистические оценки.

Таблица 4

 

	B	C	D	Е	F	G	H	I	J
26		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t -статистика	P -значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
27	Y- пересечение	-1,94	7,63	-0,25	0,82	-26,21	22,32	-26,21	22,32
28	Величина оборотных средств , млн руб.	0,69	0,20	3,53	0,04	0,07	1,32	0,07	1,32
29	Стоимость основных фондов , млн руб.	0,20	0,04	5,75	0,01	0,09	0,31	0,09	0,31

 

Столбцы табл. 4 имеют следующую интерпретацию:

1. Коэффициенты - значения коэффициентов a_i.

2.Стандартная ошибка - стандартные ошибки коэффициен-
тов а_i.

3.t-статистика - расчетные значения t -критерия, вычисляе­мые по формуле

.

5. Р-значение - значения уровней значимости, соответствующие
вычисленным значениям t _р. Определяются с помощью функции

=СТЬЮДРАСП(t _р; п - т - 1).

6. Нижние 95 % и Верхние 95 % — соответственно нижние и
верхние границы доверительных интервалов для коэффициентов
регрессии а_i. Для нахождения границ доверительных интервалов с
помощью функции = СТЬДРАСПОБР (; п - т - 1) рассчитывается критическое значение t -критерия, а затем по формулам

Нижние 95% = Коэффициент - Стандартная ошибка ;

Верхние 95% = Коэффициент + Стандартная ошибка ;

вычисляются соответственно нижние и верхние границы довери­тельных интервалов.

Таблица 5

 

	B	C	D	Е
33	ВЫВОД ОСТАТКА
34
35	Наблюдение	Предсказанная прибыль Y, млн руб.	Остатки	Стандартные остатки
36	1	190,91	-2,91	-0,74
37	2	80,98	-2,98	-0,76
38	3	94,57	-1,57	-0,40
39	4	153,62	-1,62	-0,42
40	5	52,98	2,02	0,52
41	6	153,93	7,07	1,81

 

В табл. 5 сгенерированы теоретические значения  резуль­тативного признака Y и значения остатков. Последние вычисля­ются как разность между эмпирическими  и теоретическими у₍значениями результативного признака Y.

Таблица 6

 

	B	C
33	ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ
34
35	Персентиль	Прибыль Y, млн руб.
36	8,33	55
37	25	78
38	41,67	93
39	58,33	152
40	75	161
41	91,67	188

 

В табл. 6 сгенерированы интервалы персентилей и соответ­ствующие им эмпирические значения у.

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц.

Рассчитанные в табл. 4 (ячейки С27 - С29) коэффициенты регрессии a_i, позволяют построить уравнение, выражающее зави­симость прибыли предприятий Y от величины оборотных средств Х₁ и стоимости основных фондов Х₂:

.

Значение множественного коэффициента детерминации R² = 0,995 (ячейка С15 в табл. 2) показывает, что 99,5 % общей вариации результативного признака объясняется вариацией фак­торных признаков Х₁ и Х₂. Значит, выбранные факторы сущест­венно влияют на прибыль предприятий, что подтверждает пра­вильность их включения в построенную модель.

Рассчитанный уровень значимости  = 0,0004 < 0,05 (показа­тель Значимость F в табл. 3) подтверждает значимость R².

Другой подход к проверке значимости R² (как это делалось во всех ранее рассмотренных режимах надстройки «Пакет анализа») основан на проверке попадания F_p (показатель F табл. 3) в критическую область (, ). Для рассматриваемого приме­ра , которое рассчитывается по формуле

=FPACПOБP(0,05;C22;C23),

где в ячейке С22 вычисляется число степеней свободы k_ф = т = 2, а

в ячейке С23 - число степеней свободы k _О = n —(m +1)=6—(2 + 1) =3.

Так как F_p = 273,74 попадает в критический интервал (9,55; ), то гипотеза Н₀: R² = 0 отвергается, т. е. коэффициент детер­минации R² является значимым.

Показатель средней ошибки аппроксимации  = 2,7 % также подтверждает достаточно высокую адекватность построенного уравнения. Данный показатель может быть рассчитан по формуле

{=CУMM(ABS(D36:D41)/(C3:C8))/CЧET(C3:C8)*100},

где в массиве D36: D41 табл. 5 рассчитаны разности между эмпи­рическими и теоретическими значениями результативного при­знака.

Следующим этапом является проверка значимости коэффи­циентов регрессии: a ₀, а₁ и а₂. Сравнивая попарно элементы мас­сивов С27:С29 и D27:D29 (см. табл. 4), видим, что абсолютное значение свободного члена а₀ меньше, чем его стандартная ошиб­ка. Таким образом, свободный член а₀ следует исключить из урав­нения регрессии.

Стандартные ошибки коэффициентов а₁ и а₂ меньше своих стандартных ошибок. К тому же эти коэффициенты являются зна­чимыми, о чем можно судить по значениям показателя Р-значение в табл. 4, которые меньше заданного уровня значимости .

Другой распространенный способ проверки значимости коэффициентов регрессии основан на проверке попадания t_p (показатель t-cmamucmика в табл. 4) в критическую область  . В генерируемых таблицах режима не приводится значение /™ но его можно легко вычислить с помо­щью функции СТЬЮДРАСПОБР Для рассматриваемого примера значение , которое рассчитывается по формуле

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;6-2-1),

где 0,05 — заданный уровень значимости;

0 — число наблюдений;

2 — число факторов в уравнении регрессии;

1 — число свободных членов в уравнении регрессии.

Так как  и попадают в критический ин­тервал , то коэффициенты регрессии а₁ и а₂ являются значимыми.

Подводя итог предварительному анализу уравнения регрессии, можно сделать вывод, что его целесообразно пересчитать без сво­бодного члена a ₀, который не является статистически значимым.

Для пересчета уравнения регрессии в диалоговом окне Регрес­сия необходимо задать те же самые параметры, за исключением лишь того, что следует активизировать флажок Кон­станта-ноль. В случае если незначимым является коэффициент при факторном признаке, следует пересмотреть набор признаков в уравнении регрессии.

После пересчета уравнения на рабочем листе генерируются таблицы, аналогичные табл. 2-6. Для сравнения приведем только первые три из них (табл. 7—9).

Таблица 7

	B	C
11	ВЫВОД ИТОГОВ
12
13	Регрессионная статистика
14	Множественный R	0,997
15	R -квадрат	0,994
16	Нормированный R -квадрат	0,743
17	Стандартная ошибка	4,421
18	Наблюдения	6

 

Таким образом, получаем новое уравнение регрессии:

.

Проверка значимости коэффициента детерминации R² и ко­эффициентов а₁ и а₂ при факторных признаках подтверждает адекватность полученного уравнения.

Экономическая сущность коэффициентов а₁ и а₂ в получен­ном уравнении регрессии состоит в том, что они показывают сте­пень влияния каждого фактора на прибыль предприятий. Так,

Таблица 8

 

	B	C	D	Е	F	G
20	Дисперсионный анализ
21		df	SS	MS	F	Значимость F
22	Регрессия	2	13960,67	6980,33	357,21	0,0003
23	Остаток	4	78,16	19,54
24	Итого	6	14038,83

 

Таблица 9

 

	B	C	D	Е	F	G	H	I	J
26		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t -статистика	P -значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
27	Y- пересечение	0	# Н/Д	# Н/Д	# Н/Д	# Н/Д	# Н/Д	- # Н/Д	# Н/Д
28	Величина оборотных средств , млн руб.	0,66	0,11	5,95	0,004	0,35	0,96	0,35	0,96
29	Стоимость основных фондов , млн руб.	0,21	0,03	7,65	0,002	0,13	0,28	0,13	0,28

 

увеличение оборотных средств на 1 млн руб. ведет к росту прибы­ли на 0,66 млн руб., а увеличение основных фондов на 1 млн руб. ведет к росту прибыли на 0,21 млн руб.

Кроме того, дополнительно можно рассчитать и коэффициен­ты эластичности  и , которые показывают, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на прибыль пред­приятий оказывает второй фактор: увеличение стоимости основ­ных фондов Х₂ на 1% вызывает рост прибыли на 0,55 %, тогда как рост величины оборотных средств Х₁ на 1 % способствует росту прибыли на 0,45 %

 

.

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: