Вычисление пределов. Вычисление сумм и произведений. Самостоятельные упражнения. Тема 3. Применение Maple при решении простейших задач теории чисел

Вычисление пределов

Предел вычисляется при помощи функции limit. Ее синтаксис: limit(f(x), x=a), где f(x) – функция, предел которой необходимо вычислить, a – точка, в которой вычисляется предел:

> limit(sin(x)/x, x=0); 1

В качестве точки могут фигурировать константы infinity и -infinity:

> limit( (1+1/n)^n, n=infinity ); e

Если нужно вычислить левый или правый предел в точке, для этого необходимо добавить еще один параметр left или right соответственно:

> limit(abs(x)/x, x=0, left); -1

> limit(abs(x)/x, x=0, right);

 

1

Вычисление сумм и произведений

Для вычисления сумм используется функция sum. Ее синтаксис: sum(f(k), k=a.. b), где k – переменная, по которой осуществляется суммирование, f(k) – суммируемые слагаемые, зависящие от k, a и b – пределы суммирования.

Например, сумма первых 100 натуральных чисел равна 5050, а сумма их квадратов – 338350:

> sum(k, k=1.. 100); 5050

> sum(k^2, k=1.. 100);

338350

При задании параметров можно использовать константу infinity, тогда будет вычислена сумма бесконечного ряда. Например, вычислим сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q:

> sum(q^k, k=0.. infinity); -1/(q-1)

Вычислим значение дзета-функции Римана от 2 (это сумма ряда 1/1+1/2²+1/3²+... ):

> sum( 1/k^2, k=1.. infinity);

Для вычисления конечных или бесконечных произведений используется функция product с аналогичным синтаксисом:

> product(i, i=1.. 6); 720

> product( (1+1/k^2), k=1.. infinity);

В последнем примере фигурирует специальная математическая функция «гиперболический синус»:

Это аналог синуса, определенный не на единичной окружности, а на гиперболе.

При необходимости, можно вычислить значение численно:

> evalf(%); 3. 676077910

Самостоятельные упражнения

1. Построить график функции y=x× sin(1/x) на отрезке [e, a]. В качестве параметра e выбрать несколько значений (например, e=0. 001, 0. 01, 0. 1 и т. п. ). В качестве параметра a  взять значения 1; 2; 5; 10. Будет ли построен график заданной функции при e< 0? Вычислить предел функции при x®0.
2. Потренироваться в построении графиков различных элементарных функций, известных из курса математического анализа. Попытаться изобразить на одном графике несколько различных функций (использовать для их изображения линии разных типов).

Тема 3. Применение Maple при решении простейших задач теории чисел

Большинство функций Maple для исcледований в области теории чисел содержатся в дополнительно подключаемом модуле numtheory. Для его подключения необходимо заранее указать команду with(numtheory); .

Округление, целые и дробные части

Функция floor(x) округляет число x вниз, ceil(x) округляет число вверх, функция round(x) округляет x до ближайшего целого, функция trunc(x) возвращает floor(x) для положительных x и -floor(-x) – для отрицательных. Функция frac(x) возвращает дробную часть числа x.

Целочисленное деление, остатки при делении

Для нахождения частного при целочисленном делении используется функция iquo, для вычисления остатка от деления – функция irem. У этих функций два параметра: делимое и делитель.

Примеры:

> iquo(100, 3); 33

> irem(100, 1);

1

Функции НОД и НОК

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел используется функция igcd, для нахождения наименьшего общего кратного – функция ilcm.

Пример:

> igcd(45, 1965);

Расширенный алгоритм Евклида используется для нахождения по данным n и m таких чисел u и v, что un+vm=d, где d – наибольший общий делитель m и n. Для этого используется функция igcdex(n, m, 'u', 'v'), где m, n – исходные числа, u и v – переменные, которым будут присвоено значение.

Пример:

> igcdex(45, 1965, 'u', 'v');

> u; v;

> 45*u+1965*v;

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: