Математическое моделирование

 

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и компьютерная техника. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...». Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

Формально объяснить понятие модели можно следующим образом. Пусть имеются две системы А и В с элементами { а_i } и { b_i }соответственно. Пусть далее элементы каждой системы связаны между собой множествами различных отношений { r_i } и { f_i }. В частном случае такими отношениями могут быть некоторые зависимости между элементами системы, характеризующие интересующие исследователя свойства системы. Пусть, наконец, в каждой системе имеются некоторые правила вывода, позволяющие получать новые зависимости (отношения) между элементами системы и некоторое множество исходных, априорно заданных зависимостей (аксиом). Исходные зависимости и те, которые могут получаться из них путем использования правил вывода, будем называть правильными (справедливыми) для данной системы.

Если между элементами рассматриваемых систем удается установить взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм), т.е. сформулировать правило, по которому каждому элементу а_i, в системе А будет соответствовать некоторый элемент b_i в системе В и наоборот, и если можно установить изоморфизм между соответствующими отношениями, аксиомами и правилами вывода, а следовательно, и между правильными зависимостями, то одну из систем можно назвать моделью другой системы. Это означает, что, получив в одной системе правильную зависимость, можно получить правильную зависимость, соответствующую ей, в другой системе, не производя в этой системе нужных операций.

Рассмотрим основные этапы математического моделирования:

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей:

Классифицировать модели можно по разным основаниям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие – как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф – это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

Исходя из другой классификации (по характеру исходных данных и результатов предсказания) модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

Существует множество различных моделей, отличающихся сложностью, разнообразием задач и целей моделирования, областями применения. На моделях внешнего подобия: манекенах, игрушках, моделях самолетов и кораблей – проводят предварительные испытания. Тренажеры, электрифицированные учебные таблицы и схемы, модели, имитирующие поведение реальных объектов в сложных ситуациях, служат для обучения. Модели-эрзацы заменяют объекты при выполнении определенных функций, их называют также функциональными. Это протезы, устройства искусственной почки, система «сердце – легкие», манипуляторы и др. Исследовательские модели – математические и имитационные – заменяют реальные объекты в ходе научных исследований. Область знаний, занимающаяся разработкой разнообразных моделей, их теорией и использованием, называется моделированием.

С развитием информационных технологий и фундаментальной науки информатики моделирование прочно вошло в арсенал методов, широко используемых в различных областях науки и техники, и стало одним из основных инструментов современной информатики.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что понимается под моделью?

2. Вспомните из математики понятие изоморфность. Каким образом это понятие применяется в моделировании?

3. Перечислите этапы математического моделирования. Раскройте их.

4. Приведите классификацию по характеру моделируемых проблем.

5. Приведите классификацию моделирования по характеру исходных данных и результатам предсказания.

6. Приведите примеры моделей.

Теория принятия решений

В жизни, принимая решения, мы не обращаемся к каким – либо точным методам. Многие мотивы и обоснования, которыми пользуется человек, принимая то или иное решение, не только не поддаются формализации, но и не полностью осознаются им самим. Кроме того, реальные ситуации, в которых принимаются решения, часто бывают уникальными, и учесть заранее все внешние факторы, влияющие на выбор решения, невозможно.

Теория принятия решений (ее называют также исследованием операций) – совокупность математических дисциплин, в которых исследуются лишь вполне четко описанные и формализованные модели выбора решений при тех или иных начальных условиях, ограничениях на возможности выбора. Эта теория широко применяется в задачах планирования, управления и проектирования в различных сферах человеческой деятельности.

В рамках теории принятия решений изучают нормативные (математические) модели выбора. Психология изучает, как осуществляет выбор человек или группа людей. Используемые ее модели, основанные на выводах их экспериментов, носят название дескриптивных моделей выбора. Нормативные и дескриптивные модели принятия решений в одинаковых ситуациях не всегда совпадают. В математической теории принятия решений предпринимаются усилия, направленные к сближению нормативных и дескриптивных моделей выбора. Поэтому одной из важных проблем теории принятия решений становится обоснование мотивации выбора альтернатив, стратегий, планов.

Термины «планирование», «управление», «проектирование», «решение» встречаются в литературе обычно в сочетании с определениями «оптимальное», «целенаправленное», «целеустремленное». При этом понятие целей и путей их достижения обычно не разъясняют, а обращаются к интуиции читателя. Между тем в сколько-нибудь серьезной ситуации принятие решения или формирование цели, как в содержательном, так и в формальном смысле представляет собой далеко не простую и не всегда однозначную задачу. Только в простейших случаях удается указать шкалу – целевую функцию, значения которой измеряют качество решения. Для качественного и численного анализа возникающих при этом задач оптимизации решения развиты теория и методы математического программирования. В более сложных случаях качество решения – его полезность – нельзя оценить единственной функцией и даже несколькими шкалами.

Механизм рационального выбора в таких случаях требует некоторой дополнительной косвенной информации, позволяющей сравнивать альтернативы. Таково, в частности, положение дел в ситуациях, когда решение должно учитывать интересы различных лиц, и при выборе стратегии рационального поведения в конфликтных ситуациях.. Во всех этих случаях выбор равновесного, компромиссного, справедливого решения требует дополнительного определения понятий равновесия, компромисса, справедливости.

Основные разделы теории принятия решений – это математическое программирование, векторная оптимизация (многокритериальные задачи), теория групповых решений и теория игр. Теория принятия решений представляет собой синтез и развитие моделей и методов, возникших в дисциплинах, составляющих в настоящее время ее разделы.

В центре принятия решений две основные проблемы: концепция (обоснование) выбора решения и механизм осуществления этого выбора. Концепции выбора отвечают на вопрос «что выбирать», механизмы выбора определяют «как выбирать». От концепции зависит точная формализация понятий равновесия и справедливости, вытекающая из нее конкретная постановка задачи выбора оптимального решения и использование тех или иных моделей выбора. В основе концепций выбора – набор критериев качества, функций выбора (зависимости решений от ситуации) или специальных аксиом. Механизм выбора представляет собой набор алгоритмов, решающих поставленную задачу и зависящих от выбранной модели. Это могут быть алгоритмы математического программирования, векторной оптимизации и т.д.

Модели, лежащие в основе концепций выбора, удобны для качественного анализа принятия решений. Механизмы выбора предназначены для количественного исследования задач принятия решений. Вряд ли можно унифицировать модели принятия решений, предназначенных для качественного анализа. Смысловая трактовка конкретного класса задач, специфика структуры и различные детали содержательной интерпретации задач класса могут оказаться определяющими для выявления качественных характеристик решения. Что касается вычислительных методов принятия решений, то унификация идей и алгоритмов – важное условие прогресса в методологии решения интеллектуальных задач.

 

Вопросы для самопроверки:

1. На что направлена теория принятия решений?

2. Поясните концепцию выбора решения.

3. Поясните механизм выбора решения.

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: