 |
Частные случаи, связанные с нечётностью по sin и cos.
|
|
|
|
Случай 1. Если функция в интеграле нечётная относительно косинуса, то есть 
, нужна замена: 
.
В чём её смысл. 
.
Далее, 
, поэтому 
.
Таким образом, будет корень в нечётной степени, полученный при замене в самой функции, и ещё один - из дифференциала. А если корень нечётной степени или умножить, или поделить на ещё один, то в итоге получится корень в чётной степени, то есть просто целая степень от 
, т.е. какой-то многочлен от 
. Таким образом, эта замена сводит всё к целым степеням от .
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Видим, что здесь функция нечётная относительно косинуса, то есть 
. Поэтому применим замену .
В этом случае 
, , 
.
= 
. Нечётная степень этого корня сократится с одним дополнительным корнем, который появился при пересчёте дифференциала, и станет чётная степень корня квадратного.
= 
= 
.
Знак модуля здесь вовсе не нужен, ведь с областью значений 
, так что заведомо выполняется 
.
= 
= 
.
Случай 2. Нечётная относительно sin функция в интеграле, то есть выполняется свойство 
. Тогда замена: 
.
В этом случае 
, 
, .
В результате тоже получается корень 
в чётной степени.
Случай 3. Если при смене знака и синуса, и косинуса знак итогового выражения по меняется 2 раза, то есть останется прежним.
Это означает, что суммарная степень чётна. Замена: 
.
, соответственно, 
.
Выразим синус и косинус. 
. Нужно выразить синус того угла, тангенс которого равен t. Рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначим противолежащий и прилежащий катеты: t и 1. Но тогда по теореме Пифагора, гипотенуза равна 
. Подпишем её тоже.
А теперь можно выразить синус и косинус:
, 
.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Степени обеих функций нечётны, суммарная степень чётна. То есть, это как раз тот случай, когда можно сделать замену .
|
|
|
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Интегрирование выражений, содержащих
, 
, или 
.
Они сводятся к тригонометрическим функциям.
Случай 1. 
.
Замена: 
(или 
).
Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать 
, ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .
Далее получается 
, а корни в этом выражении исчезают так: 
= 
= 
. Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Здесь 
, потому что 
.
Замена 
. Корень при этом превратится в 
.
Итак, = 
= 
= 
.
после обратной замены, это 
.
Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен 
. Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, 
и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора 
.
Ну а тогда косинус равен 
.
= 
= 
.
Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.
Пример. С помощью данной замены доказать формулу из таблицы интегралов: 
Сделаем замену , тогда 
= 
= 
= 
, и обратная замена приводит к 
.
Случай 2. 
.
Здесь замена 
(либо аналогично 
).
Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом 
,
= 
= 
= 
= 
= 
. Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.
Случай 3. 
.
Замена 
(либо 
). Как действует такая замена.
, 
= 
= 
= 
= 
=. 
.
Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.
А тогда уже 2-я замена после этого приведёт к рациональной дроби, для которых затем разложение на простейшие. То есть, здесь бывают задачи, которые решаются в 3 шага, рассмотрим их на практике.
ЛЕКЦИЯ № 3. 28. 02. 2017
Определённый интеграл.
|
|
|
Определение. Пусть функция 
определена и непрерывна на 
. Введём разбиение отрезка на n частей: 
. Каждый из n элементарных отрезков 
обозначим 
, а его длину 
. Возьмём какую-то произвольную точку на каждом из этих отрезков, 
. Следующая сумма: 
называется интегральной суммой. Предел 
при 
и при условии, что 
(то есть разбиение отрезка измельчается повсюду, а не только в какой-то его части) называется интегралом функции 
по отрезку .
Обозначение: 
.
Геометрически означает сумму площадей прямоугольников, высота каждого из которых равна значению в выбираемой точке :
Чем больше n, тем более узкие прямоугольники получаются, и в пределе эта величина стремится к величине площади между графиком и осью. Геометрический смысл интеграла: площадь криволинейной трапеции под графиком (если график выше оси). Впрочем, интеграл может быть и меньше нуля, так, если 
то это площадь, расположенная между графиком и осью 0х, взятая с отрицательным знаком.
|
|
|
