Частные случаи, связанные с нечётностью по sin и cos.
Случай 1. Если функция в интеграле нечётная относительно косинуса, то есть В чём её смысл. Далее, Таким образом, будет корень в нечётной степени, полученный при замене в самой функции, и ещё один - из дифференциала. А если корень нечётной степени или умножить, или поделить на ещё один, то в итоге получится корень в чётной степени, то есть просто целая степень от
Пример. Вычислить интеграл Решение. Видим, что здесь функция нечётная относительно косинуса, то есть
В этом случае
Знак модуля здесь вовсе не нужен, ведь
Случай 2. Нечётная относительно sin функция в интеграле, то есть выполняется свойство В этом случае В результате тоже получается корень
Случай 3. Если при смене знака и синуса, и косинуса знак итогового выражения по меняется 2 раза, то есть останется прежним. Это означает, что суммарная степень чётна. Замена:
Выразим синус и косинус. А теперь можно выразить синус и косинус:
Пример. Вычислить интеграл Решение. Степени обеих функций нечётны, суммарная степень чётна. То есть, это как раз тот случай, когда можно сделать замену
Ответ.
Интегрирование выражений, содержащих
Они сводятся к тригонометрическим функциям. Случай 1. Замена: Рассмотрим замену Далее получается Пример. Вычислить интеграл Здесь Замена Итак, после обратной замены, это Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен Ну а тогда косинус равен
Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала. Пример. С помощью данной замены доказать формулу из таблицы интегралов:
Сделаем замену Случай 2. Здесь замена Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене
Случай 3. Замена
Итак, корни вида А тогда уже 2-я замена после этого приведёт к рациональной дроби, для которых затем разложение на простейшие. То есть, здесь бывают задачи, которые решаются в 3 шага, рассмотрим их на практике. ЛЕКЦИЯ № 3. 28. 02. 2017 Определённый интеграл.
Определение. Пусть функция Обозначение: Геометрически Чем больше n, тем более узкие прямоугольники получаются, и в пределе эта величина стремится к величине площади между графиком и осью. Геометрический смысл интеграла: площадь криволинейной трапеции под графиком (если график выше оси). Впрочем, интеграл может быть и меньше нуля, так, если
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|