 |
Смена порядка интегрирования.
|
|
|
|
Любую прямоугольную таблицу можно суммировать сначала по строкам, и затем сложить все полученные результаты, а можно сначала по столбцам. Но в итоге всё равно получится сумма всех элементов. Подобное есть и для двойных интегралов. Можно разбить поверхность на сечения вдоль оси 
, а можно в перпендикулярном направлении, вдоль 
. Для прямоугольной области:
= 
.
Проблема возникает в том случае, когда область не прямоугольная. Там так просто заменить интегралы наоборот уже не получится, ведь границы внутреннего зависят от внешней переменной. В этом случае надо заново рассмотреть (с помощью чертежа) поведение одной переменной в зависимости от другой. Можно провести не вертикальные, а горизонтальные отрезки, и найти их пересечения с областью определения. Теперь нужны не верхняя и нижняя граница, а левая и правая.
Пример. Сменить порядок интегрирования 
.
Сначала построим чертёж. Закрасим область под параболой. Это область определения D функции двух переменных.
Глобальные границы по 
от 0 до 1, так как ниже 0 или выше 1 вообще нет точек этой фигуры Теперь надо узнать, от какой до какой абсциссы будет проходить горизонтальный отрезок внутри фигуры. Нужно границу 
записать с помощью обратной функции: 
. Горизонтальная линия чем выше, тем позже начинается, а именно от линии 
, а заканчивается всё время при 
.
Итак, = 
.
Вычисление тройных интегралов.
Пример. Вычислить интеграл 
где D куб 
.
Решение. Здесь 3 вложенных действия: 
.
Сначала вычислим первообразную по 
и применим формулу Ньютона-Лейбница по , 
= 
.
После этого вычислим первообразную по :
= 
= 
= 
= 
.
Замечание. Тройные интегралы тоже могут быть по сложной области, а не параллелепипеду или кубу. Во внутреннем интеграле (по переменной ) в этом случае будет зависимость уже от обеих внешних переменных, а именно 
. Примеры - на практике.
|
|
|
Приложения кратных интегралов.
Если 
то при вычислении интеграла получится просто площадь области D (если двойной интеграл) или объём области (если тройной интеграл). Физический смысл: если плотность равна 1, то масса как раз и равна объёму.
Для сравнения, для определённых интегралов было то же самое, только там получалась длина отрезка: 
.
1) Вычисление площадей фигур (двойной интеграл).
2) Вычисление объёмов тел (тройной интеграл).
Примеры с будут чуть позже, после изучения полярных и сферических координат.
3) Площадь поверхности.
Формула площади явно заданной поверхности:
.
Доказательство. Разобьём область определения на прямоугольники небольшого размера, со сторонами 
и 
. Над таким прямоугольником есть часть поверхности, за счёт малости размера она очень близка к касательной плоскости. Рассмотрим параллелограмм на касательной плосоксти и вычислим его площадь. Его стороны это векторы 
и 
. Рассмотрим подробнее, какие у них координаты.
направлен по касательной в сечении, параллельном оси , то есть тангенс угла наклона для него это 
. Тогда его координаты: 
= 
. Аналогично вектор расположен в сечении вдоль оси , его координаты 
, если вынести дельта, то это 
. Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения (вспомните 1 семестр, векторная алгебра и геометрия).
= 
, модуль этого вектора: 
.
Вспомним, что мы вынесли за скобку коэффициенты и . Поэтому
в интегральных суммах получается 
. Тогда при переходе к пределу, будет интеграл: , где D это область определения в горизонтальной плоскости (то есть область, над которой расположена поверхность).
Замена переменных в кратных интегралах.
|
|
|
|
|
|
