 |
Свойства определённого интеграла.
|
|
|
|
1. 
.
Это свойство часто бывает нужно при заменах переменной в определённом интеграле. Так, например, если замена 
, то большему 
будет соответствовать меньшее 
и наоборот. То есть, интеграл получится от большего числа до меньшего, и надо будет поменять пределы интегрирования обратно, и при этом сменится знак.
2. 
.
Кстати, свойство верно даже в том случае, если 
, тогда просто получится, что интегралы по 
и 
взаимоуничтожатся.
Следующие два свойства относятся к уже знакомому понятию «линейность»: можно вынести константу и интеграл от суммы функций разбить на сумму двух интегралов.
3. 
и 4. 
.
5. Если 
то 
.
Действительно, если в интегральной сумме 
все числа 
положительны (отрицательны) то и сумма положительна (отрицательна).
6. если 
то 
.
Свойство 6 следует из 5, ведь можно рассмотреть 
.
Свойство 7. 
(Модуль интеграла меньше или равен, чем интеграл модуля).
Действительно, если сначала вычислить интеграл, то площади, расположенные выше и ниже оси, частично вычитаются, и число получается меньше. А если заранее взять модуль функции, то эти площади не вычитаются, а складываются:
Равенство здесь возможно лишь в том случае, когда в области интегрирования функция нигде не меняет знак.
Свойство 8. Если 
то 
.
Площадь прямоугольника, соответствующего минимальной высоте графика функции, это и есть 
, что меньше, чем площадь криволинейной трапеции, а 
наоборот, больше, ведь это площадь прямоугольника, соответствущего максимальной высоте графика.
А теперь представьте себе, что высота прямоугольника плавно растёт от 
до 
. Площадь при этом растёт от до значения . Но ведь значение интеграла между этими числами, следовательно, при какой-то высоте 
, площадь растущего прямоугольника сравняется со значением интеграла.
|
|
|
Свойство 9. Существует такое , где 
, что 
.
Свойство 10. Если f непрерывна, то существует точка 
, такая, что: 
.
Отличие от прошлого свойства в том, что это среднее значение не просто существует, а ещё достигается в какой-то точке, то есть обязательно найдётся точка графика на этой высоте. Для разрывной могло быть и не так: например, если ступенчатая функция на одной половине отрезка навна 1, а на второй половине 2, то средняя высота графика 1,5 но ведь график нигде не проходит через эту высоту.
Основной формулой в теме «определённый интеграл» является формула Ньютона-Лейбница 
. Она позволяет сразу же вычислить определённый интеграл, если известен неопределённый.
Но на самом деле, связь между этими двумя видами интегралов двусторонняя, т.е. и неопределённый интеграл может быть вычислен с помощью определённого. А именно, если рассматривать функцию 
то есть определённый интеграл с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Функция является первообразной от функции 
.
Доказательство. Нужно доказать, что 
.
Рассмотрим подробнее производную функции 
. По определению,
.
В данном случае, это 
, по свойству 2, интеграл по отрезку 
можно представить в виде суммы двух интегралов, а именно, по 
и 
. Чертёж:
При этом интеграл по там в разности есть ещё и со знаком «минус», то есть он в итоге сокращается.
= 
.
По свойству 10, интеграл по отрезку можно представить как некоторое среднее значение, т.е. в какой-то точке 
, умноженное на длину отрезка.
В общем случае длина была равна 
, а для данного отрезка это просто 
. Тогда: = 
= 
.
Однако точка , поэтому при 
, точка 
, которая находится где-то между и 
, стремится к левой границе отрезка: 
. Поэтому в итоге = .
Теорема 2. (Ньютона-Лейбница). Если 
- какая-либо первообразная от , то верна формула: .
Доказательство. Если есть произвольная первообразная, то она отличается на какую-то константу 
от той первообразной, которую мы рассматривали в теореме 1. То есть 
, что означает
|
|
|
. Запишем это равенство в точке 
, получится 
но ведь интеграл по одной точке это 0, там нулевая длина основания, а значит и нулевая площадь. Тогда 
. вот, кстати, мы заодно и установили, как связана константа с выбором начальной точки .
, а на сколько по высоте отличается от 
любая другая первообразная - это и есть значение 
.
Итак, теперь ясно, что 
.
А теперь рассмотрим это выражение в точке 
.
, то есть 
. Но ведь переменная вводилась исключительно для того, чтобы отличать внутри функции и на верхнем пределе интеграла. Теперь, когда перешли к фиксированным границам в интеграле, можно сделать тривиальную замену 
и запись примет вид 
, что и требовалось доказать.
Примеры вычисления по формуле Ньютона-Лейбница.
Пример. Найти интеграл 
.
Решение. 
= 
.
Пример. Найти интеграл 
.
Решение. 
= 
.
Пример. Найти интегралы 
и 
.
Решение. 
= 
.
= 
.
Пример. Найти интеграл 
.
Решение. = 
= 
= 
.
Пример. Найти интеграл 
.
Решение. = 
= 
.
Вид формулы интегрирования по частям для определённого интеграла: 
.
Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену).
Пример. Вычислить интеграл 
Решение. При замене 
мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если 
, то 
= 
.
Тогда 
= 
= 
= 8.
Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене 
отобразится в . Но, как правило, при замене верхний и нижний предел интегрирования тоже изменяются.
Замена в определённом интеграле должна задаваться взаимно-однозначной функцией 
, то есть монотонной функцией. Иначе можно столкнуться с такими парадоксами: например, 
, интеграл от 0 до 
. Тогда по переменной получаем интеграл по промежутку 
, и он был бы в любом случае равен 0. Чтобы избежать такого противоречия, надо было бы разбить исходный интеграл по переменной на 2 части, по 
и 
.
|
|
|
