Свойства определённого интеграла.
1. Это свойство часто бывает нужно при заменах переменной в определённом интеграле. Так, например, если замена
2. Кстати, свойство верно даже в том случае, если
Следующие два свойства относятся к уже знакомому понятию «линейность»: можно вынести константу и интеграл от суммы функций разбить на сумму двух интегралов. 3.
5. Если Действительно, если в интегральной сумме 6. если Свойство 6 следует из 5, ведь можно рассмотреть Свойство 7. (Модуль интеграла меньше или равен, чем интеграл модуля). Действительно, если сначала вычислить интеграл, то площади, расположенные выше и ниже оси, частично вычитаются, и число получается меньше. А если заранее взять модуль функции, то эти площади не вычитаются, а складываются: Равенство здесь возможно лишь в том случае, когда в области интегрирования функция нигде не меняет знак.
Свойство 8. Если Площадь прямоугольника, соответствующего минимальной высоте графика функции, это и есть А теперь представьте себе, что высота прямоугольника плавно растёт от
Свойство 9. Существует такое Свойство 10. Если f непрерывна, то существует точка Отличие от прошлого свойства в том, что это среднее значение не просто существует, а ещё достигается в какой-то точке, то есть обязательно найдётся точка графика на этой высоте. Для разрывной могло быть и не так: например, если ступенчатая функция на одной половине отрезка навна 1, а на второй половине 2, то средняя высота графика 1,5 но ведь график нигде не проходит через эту высоту.
Основной формулой в теме «определённый интеграл» является формула Ньютона-Лейбница Но на самом деле, связь между этими двумя видами интегралов двусторонняя, т.е. и неопределённый интеграл может быть вычислен с помощью определённого. А именно, если рассматривать функцию
Теорема 1. Функция Доказательство. Нужно доказать, что Рассмотрим подробнее производную функции
В данном случае, это При этом интеграл по
По свойству 10, интеграл по отрезку В общем случае длина была равна Однако точка
Теорема 2. (Ньютона-Лейбница). Если Доказательство. Если
Итак, теперь ясно, что А теперь рассмотрим это выражение в точке
Примеры вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Пример. Найти интеграл Решение. Пример. Найти интеграл Решение. Пример. Найти интегралы Решение.
Пример. Найти интеграл Решение. Пример. Найти интеграл Решение.
Вид формулы интегрирования по частям для определённого интеграла:
Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену). Пример. Вычислить интеграл Решение. При замене Тогда Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене
Замена в определённом интеграле должна задаваться взаимно-однозначной функцией
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|