Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Ограниченные, монотонные последовательности.




Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Например, последовательности 20), 30), 40), 50) – ограниченные, а последовательность 10) – неограниченная.

Непосредственно из определения ограниченной последовательности и определения предела последовательности следует теорема:

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

Например, последовательность не имеет предела, хотя


Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn £ M.

 
 


Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn ³ M

 
 


Пример. {xn} = 3n – ограничена снизу {3, 6, 9, … }.

 

Монотонные последовательности.

 

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

 

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

 

Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

 

Решение. Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

Решение. Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

 

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

 

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.

 

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

 

§3. Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:

Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

 

Связь натурального и десятичного логарифмов.

 

Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y, следовательно lnx = yln10

у = , где М = 1/ln10» 0,43429…- модуль перехода.

§4. Понятие предела функции.

4.1. Предел функции в точке.

y f(x)

 

 

A + e

A

A - e

 

0 a - D a a + D x

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

 

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

 

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

 

Запись предела функции в точке:

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М = e + ïАï

Теорема доказана.

4.2. Односторонние пределы.

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

 

у

f(x)

 

А2

 

А1

 

0 a x

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

 

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

4.3 .Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

 

Графически можно представить:

 
 


y y

 

 

A A

 

0 0

x x

 

 

y y

 
 

 


A A

 

0 0

x x

 

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х<M.

 

 

4.4. Бесконечно малые функции.

 

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

 

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...