Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство ïf(x)ï>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию ïx - aï < D
Записывается Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)<M, то: Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:
a x a x a x
Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – число или одна из величин ¥, + ¥ или - ¥, если Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)® 0 при х® а (если х® ¥) и не обращается в ноль, то
§5. Сравнение бесконечно малых функций. Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю. Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если Определение. Если Определение. Если
Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x. т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение
Пример. Если
Пример. Если Свойства эквивалентных бесконечно малых. 1) a ~ a, 2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g, 3) Если a ~ b, то b ~ a, 4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и Следствие: а) если a ~ a1 и б) если b ~ b1 и Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
Пример. Найти предел Так как 1 – cosx =
Пример. Найти предел
Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда
§6. Некоторые замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов. Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел. Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0; D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16; x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6; x2 = (6 – 2)/2 = 2; x2 = (8 – 4)/2 = 2; Тогда
Пример. Найти предел.
=
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел
Разложим числитель и знаменатель на множители. x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x3 – x2 x2 – 5x + 6 - 5x2 + 11x - 5x2 + 5x 6x - 6 6x - 6 0
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) Тогда
Пример. Найти предел.
§7. Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
f(x0)+e f(x0) f(x0)-e
0 x0-D x0 x0+D
y
f(x0)+e f(x0) f(x0)-e x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию верно неравенство
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x) где a(х) – бесконечно малая при х®х0. Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0. 2) Частное двух непрерывных функций
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция. Это свойство может быть записано следующим образом: Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах. Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения. 2) Рациональная функция
3) Тригонометрические функции sin и cos непрерывны на своей области определения. Докажем свойство 3 для функции y = sinx. Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования: Действительно, имеется предел произведения двух функций предел функции синус Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|