Определение определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], a < b. Выполним следующие действия: 1. Точками
a=x0 x1 x2 xi-1 xi b=xn
2. На каждом частичном отрезке 3. Умножим найденные значения функции f(ci) на длину соответствующего единичного отрезка Dxi = xi – xi-1. Т.е. получим произведение: f(ci)Dxi. 4. Просуммируем полученные произведения. Получим Полученную сумму (1) называют интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b]. 5. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ=max{ λ - шаг разбиения. 6. Перейдем к пределу интегральной суммы (1) при l ® ¥ (при этом n ® ¥):
Если предел (2) существует, то он называется определенным интегралом функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается Определение. Определенным интегралом называется число, равное пределу интегральной суммы Таким образом, согласно определению: Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f(x) – подинтегральной функцией; f(x)dx – подинтегральным выражением; x – переменной интегрирования; отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования. При фиксированных пределах интегрирования a и b определенный интеграл (3) есть постоянное число. Определение определенного интеграла при помощи схемы 1. – 6. принадлежит Римману, поэтому интеграл (3) называется риммановым. Существуют и другие конструкции интегралов. Нам они не понадобятся.
Сформулируем теорему существования определенного интеграла: Теорема (Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интеграл
Некоторые свойства определенного интеграла, следующие непосредственно из его определения (3):
3. Если подинтегральная функция равна единице, то определенный интеграл этой функции по отрезку [a,b] равен длине этого отрезка, т.е.:
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y = f(x) ³ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.
y = f(x)
0 x
Найдем площадь этой трапеции S. Если функция f(x) ³ 0 на отрезке [a,b], тогда интегральная сумма
0 a c1x1 c2x2 xi-1 ci xi xn-1cn b x Площадь криволинейной трапеции S приближенно равна площади ступенчатой фигуры:
С уменьшением всех величин Dxi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивается. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn при неограниченном возрастании n ® ¥ так, что l ® 0:
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F(x) какая-либо ее первообразная на этом отрезке (F¢ (x)= f(x)), то имеет место формула
Доказательство: Точками
a=x0 x1 x2 xi-1 xi b=xn Рассмотрим тождество: F(b) – F(a) = F(xn) – F(x0) = (F(xn) – F(xn-1)) + (F(xn-1 – F(xn-2)) +... +(F(x1) – F(x0)). К каждой разности в скобках применим формулу Лагранжа: f(b) – f(a) = f¢ (c)×(b – a). Получим: F(b) – F(a) = F¢ (cn)(xn – xn-1) + F¢ (cn-1)(xn-1 – xn-2) +...+ F¢ (c2)(x2 – x1) + F¢ (c1)(x1 – x0) = n n n å F¢ (ci)(xi – xi-1) = å f(ci)(xi – xi-1), т. е. F(b) – F(a) = å f(ci)(xi – xi-1) (2), где ci – некоторая I=1 I=1 I=1 точка интервала (xi-1; xi). Т. к. функция y = f(x) непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на отрезке [ a, b ]. Перейдем в равенстве (2) к пределу при n ® ¥ (l ® 0), получим Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. b Разность F(b) – F(a) обозначают следующим образом: F(x) ç a и формулу (1) в этом случае можно переписать
Формула (1) дает удобный способ вычисления определенного интеграла: - надо найти первообразную подинтегральной функции – F(x); - посчитать разность значений этой первообразной на концах отрезка [ a, b ] – F(b) – F(a). Примеры. 1). 2).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|