Операции логического уровня над статическими структурами. Поиск

В этом и следующих разделах представлен ряд алгоритмов поиска данных и сортировок, выполняемых на статических структурах данных, так как это характерные операции логического уровня для таких структур. Однако, те же операции и те же алгоритмы применимы и к данным, имеющим логическую структуру таблицы, но физически размещенным в динамической памяти и на внешней памяти, а также к логическим таблицам любого физического представления, обладающим изменчивостью.

Объективным критерием, позволяющим оценить эффективность того или иного алгоритма, является, так называемый, порядок алгоритма. Порядком алгоритма называется функция O(N), позволяющая оценить зависимость времени выполнения алгоритма от объема перерабатываемых данных (N - количество элементов в массиве или таблице). Эффективность алгоритма тем выше, чем меньше время его выполнения зависит от объема данных. Большинство алгоритмов с точки зрения порядка сводятся к трем основным типам:

· - степенные - O(N^a);

· - линейные - O(N);

· - логарифмические - O(logA(N)). (Здесь и далее запись вида "logА" обозначает "логарифм по основанию А").

Эффективность степенных алгоритмов обычно считается плохой, линейных - удовлетворительной, логарифмических - хорошей.

Аналитическое определение порядка алгоритма, хотя часто и сложно, но возможно в большинстве случаев. Возникает вопрос: зачем тогда нужно такое разнообразие алгоритмов, например, сортировок, если есть возможность раз и навсегда определить алгоритм с наилучшим аналитическим показателем эффективности и оставить "право на жизнь" исключительно за ним? Ответ прост: в реальных задачах имеются ограничения, определяемые как логикой задачи, так и свойствами конкретной вычислительной среды, которые могут помогать или мешать программисту, и которые могут существенно влиять на эффективность данной конкретной реализации алгоритма. Поэтому выбор того или иного алгоритма всегда остается за программистом.

В последующем изложении все описания алгоритмов даны для работы с таблицей, состоящей из записей R[1], R[2],..., R[N] с ключами K[1], K[2],..., K[N]. Во всех случаях N - количество элементов таблицы. Программные примеры для сокращения их объема работают с массивами целых чисел. Такой массив можно рассматривать как вырожденный случай таблицы, каждая запись которой состо- ит из единственного поля, которое является также и ключом. Во всех программных примерах следует считать уже определенными: константу N- целое положительное число, число элементов в массиве; константу EMPTY - целое число, признак "пусто" (EMPTY=-1); тип - type SEQ = array[1..N] of integer; сортируемые последовательности.

Последовательный или линейный поиск

Простейшим методом поиска элемента, находящегося в неупорядоченном наборе данных, по значению его ключа является последовательный просмотр каждого элемента набора, который продолжается до тех пор, пока не будет найден желаемый элемент. Если просмотрен весь набор, но элемент не найден - значит, искомый ключ отсутствует в наборе.

Для последовательного поиска в среднем требуется (N+1)/2 сравнений. Таким образом, порядок алгоритма - линейный - O(N).

Программная иллюстрация линейного поиска в неупорядоченном массиве приведена в следующем примере, где a - исходный массив, key - ключ, который ищется; функция возвращает индекс найденного элемента или EMPTY - если элементт отсутствует в массиве.

{===== Программный пример 3.4 =====} Function LinSearch(a: SEQ; key: integer): integer; var i: integer; for i:=1 to N do { перебор эл-тов массива } if a[i]=key then begin { ключ найден - возврат индекса } LinSearch:=i; Exit; end; LinSearch:=EMPTY; {просмотрен весь массив, но ключ не найден } end;

Бинарный поиск

Другим относительно простым методом доступа к элементу является метод бинарного (дихотомического, двоичного) поиска, который выполняется в заведомо упорядоченной последовательности элементов. Записи в таблицу заносятся в лексикографическом (символьные ключи) или численно (числовые ключи) возрастающем порядке. Для достижения упорядоченности может быть использован какой-либо из методов сортировки (см. 3.9).

В рассматриваемом методе поиск отдельной записи с определенным значением ключа напоминает поиск фамилии в телефонном справочнике. Сначала приближенно определяется запись в середине таблицы и анализируется значение ее ключа. Если оно слишком велико, то анализируется значение ключа, соответствующего записи в середине первой половины таблицы, и указанная процедура повторяется в этой половине до тех пор, пока не будет найдена требуемая запись. Если значение ключа слишком мало, испытывается ключ, соответствующий записи в середине второй половины таблицы, и процедура повторяется в этой половине. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден требуемый ключ или не станет пустым интервал, в котором осуществляется поиск.

Для того, чтобы найти нужную запись в таблице, в худшем случае требуется log2(N) сравнений. Это значительно лучше, чем при последовательном поиске.

Программная иллюстрация бинарного поиска в упорядоченном массиве приведена в следующем примере, где a - исходный массив, key - ключ, который ищется; функция возвращает индекс найденного элемента или EMPTY - если элементт отсутствует в массиве.

{===== Программный пример 3.5 =====} Function BinSearch(a: SEQ; key: integer): integer; Var b, e, i: integer; begin b:=1; e:=N; { начальные значения границ } while b<=e do { цикл, пока интервал поиска не сузится до 0 } begin i:=(b+e) div 2; { середина интервала } if a[i]=key then begin BinSearch:=i; Exit; {ключ найден - возврат индекса } end else if a[i] < key then b:=i+1 { поиск в правом подинтервале } else e:=i-1; { поиск в левом подинтервале } end; BinSearch:=EMPTY; { ключ не найден } end;

Трассировка бинарного поиска ключа 275 в исходной последовательности:

75, 151, 203, 275, 318, 489, 524, 519, 647, 777

представлена в таблице 3.4.

Интерация	b	e	i	K[i]

Таблица 3.4

Алгоритм бинарного поиска можно представить и несколько иначе, используя рекурсивное описание. В этом случае граничные индексы интервала b и e являются параметрами алгоритма.

Рекурсивная процедура бинарного поиска представлена в программном примере 3.6. Для выполнения поиска необходимо при вызове процедуры задать значения ее формальных параметров b и е - 1 и N соответственно, где b, e - граничные индексы области поиска.

{===== Программный пример 3.6 =====} Function BinSearch(a: SEQ; key, b, e: integer): integer; Var i: integer; begin if b > e then BinSearch:=EMPTY { проверка ширины интервала } else begin i:=(b+e) div 2; { середина интервала } if a[i]=key then BinSearch:=i {ключ найден, возврат индекса} else if a[i] < key then { поиск в правом подинтервале } BinSearch:=BinSearch(a,key,i+1,e) else { поиск в левом подинтервале } BinSearch:=BinSearch(a,key,b,i-1); end; end;

Известно несколько модификаций алгоритма бинарного поиска, выполняемых на деревьях, которые будут рассмотрены в главе 5.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: