Вывод дифференциальных уравнений поперечных колебаний балки.
![]() Принимается, что в недеформированном состоянии ось балки прямолинейна и совпадает с осью Ox. Отклонение точек оси балки при поперечных колебаниях перпендикулярно оси Ox обозначим через u (x; t). Выделим элемент балки сечения I-I и II-II. В сечении I-I действует поперечная сила Q (x; t) и изгибающий момент M (x; t), а в сечении II-II – Q (x + Δ x; t) и M (x + Δ x; t). Интенсивность внешней нагрузки, действующей на балку равна f (x; t). Под действием указанных сил и моментов выделенный элемент будет совершать плоскопараллельное движение. Так как смещением по оси Ox пренебрегают, то остается составить одно уравнение по принципу Даламбера для сил в проекциях на ось Oy и одно уравнение моментов относительно центра инерции элемента. Масса элемента равна μ Δ x, а ее осевой момент инерции относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости xOu, равен I 0 Δ x. Угол поворота элемента вокруг той же оси обозначим через φ. Для малых углов поворота φ Составим уравнения равновесия проекций и моментов указанных сил:
Разложив в ряд Тейлора
Подставляем эти выражения в (6.2.1) и (6.2.2)
Из уравнения (6.2.4) следует: Учитывая, что При I 0 = const, EJ = const получим уравнение поперечных колебаний однородной балки в виде
При длине балки, значительно превосходящей поперечные размеры, инерцией вращения можно пренебречь. Тогда уравнение примет вид: если принять
где Для поперечных колебаний балки в качестве начальных условий задаются начальное смещение и начальная скорость балки
Граничные условия определяются в зависимости от способа закрепления концов балки. Причем количество условий определяется высшим порядком производной по x в уравнении (6.2.5). Следовательно, должно быть задано четыре условия. Если концы балки закреплены шарнирно, то это значит что на обоих концах его смещение и изгибающие моменты равны нулю, т.е. Известно, что Следовательно, для балки, шарнирно закрепленного на обоих концах, имеют место следующие граничные условия: Для консольной балки граничные условия при а для свободного конца, т.е. при так как то для консольной балки окончательно получим следующие граничные условия:
![]()
Если на свободном конце будут действовать момент
![]() Для балки с жестко закрепленными концами модно принять, что прогибы и углы поворота сечений в местах защемления равны нулю. Тогда
![]()
Аналогично можно составить граничные условия и для других видов закрепления концов балки.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|