Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай)
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти. Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Рис.6.8.1 При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла. 1. Количество тепла
где
где 2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла
где Для стержня имеем
где коэффициент
3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через
И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии. Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями
через сечение
Найдем приток тепла (К разности частных производных применена теорема Лагранжа). Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени
Все тепло
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
Сокращая на общий множитель
Введя обозначения
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (6.8.4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.
Процесс распределения температуры
которое кратко записывается так:
где Уравнение (6.8.6) описывает также процессы диффузии, где Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (6.8.6). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие). Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени. Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода. Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности. Начальное условие состоит в задании функции
Выведем граничные условия в случаях I – III. 1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура
где 2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения
Дадим физическое толкование этому условию. Пусть
Сократив на Аналогично для сечения
Следовательно, условие
3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения
Условие (6.8.10) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура
где Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток
С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье
Приравнивая правые части этих выражений, найдем
Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде
в котором положено Граничные условия, наложенные на значение производной В случае граничных условий вида (6.8.8), (6.8.9), (6.8.10) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (6.8.7).
Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения
удовлетворяющего условиям
Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши. Задача Коши для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение
где Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение
где Для уравнения (6.8.6) теплопроводности в пространстве
а на границе 1) 2) где 3) Здесь
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|