Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай)

    Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.

    Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось  так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой , а другой - с точкой  (Рис.6.8). Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией , дающей температуру  в каждой точке тела и в любой момент времени.

Рис.6.8.1

    При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

    1. Количество тепла , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на , равно

,

где  - удельная теплоемкость,  - масса тела. Для стержня имеем

, (6.8.1)

где  - плотность материала стержня;  - площадь его поперечного сечения.

    2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла , протекающее за время  через площадку  в направлении нормали  к этой площадке, равно

,

где  - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

Для стержня имеем

, (6.8.2)

где коэффициент  будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то .

    3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через  плотность источников в точке  рассматриваемого стержня в момент . Тогда в результате действия этих источников на участке  за промежуток  будет выделено количество тепла

. (6.8.3)

 

    И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

    Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями  и , и составим уравнение теплового баланса на отрезке . Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (6.8.2) количество тепла, прошедшее через сечение , равно

;

через сечение :

.

Найдем приток тепла  в элемент стержня:

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

    Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени  выделится количество тепла согласно (6.8.3)

.

Все тепло  за время  пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину . И поэтому сообщенное количество тепла , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (6.8.1):

.

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

.

Сокращая на общий множитель , получим уравнение

.

Введя обозначения , , придем к уравнению

. (6.8.4)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (6.8.4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную  называют коэффициентом температуропроводности. Коэффициент  имеет размерность м /с. Уравнение (6.8.4) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.

    Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

    Процесс распределения температуры  в изотропном теле описывается уравнением

, (6.8.5)

которое кратко записывается так:

, (6.8.6)

где  - оператор Лапласа.

    Уравнение (6.8.6) описывает также процессы диффузии, где  - концентрация диффундирующего вещества, и другие.

    Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (6.8.6). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

    Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

    Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

    Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

    Начальное условие состоит в задании функции  в начальный момент времени :

. (6.8.7)

    Выведем граничные условия в случаях I – III.

    1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

, , (6.8.8)

где ,  - функции, заданные в некотором промежутке , причем  есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, , , т.е. на концах поддерживается постоянная температура  и .

    2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения

. (6.8.9)

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть  - величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение  в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня  в период времени , как и при выводе уравнения (6.8.4) запишется в виде

.

Сократив на  и перейдя к пределу при , получим . Таким образом, имеем условие (6.8.10), в котором  - известная функция, выражающаяся через заданный поток тепла  по формуле .

    Аналогично для сечения , через которое протекает количество тепла , найдем

.

Следовательно, условие  или имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то  или , и следовательно,

 или

    3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения

 

. (6.8.10)

 

Условие (6.8.10) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура  которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где  - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

    Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток , вытекающий через сечение , равен

.

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

.

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

.

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

,

в котором положено , .

    Граничные условия, наложенные на значение производной , называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции , так и на значение производной , называют условиями третьего рода.

    В случае граничных условий вида (6.8.8), (6.8.9), (6.8.10) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (6.8.7).

    Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения  уравнения

при , ,

удовлетворяющего условиям

, ,

, , .

    Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при  и .

    Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения  в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.

    Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.

    Задача Коши для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение  уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее начальному условию 

,

где  - заданная функция.

    Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение  уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее условиям

, ,

, ,

где  и  - заданные функции.

    Для уравнения (6.8.6) теплопроводности в пространстве , ограниченном поверхностью , начальное условие записывают в виде

,

а на границе  области  функция  должна удовлетворять одному из условий:

    1)  (граничное условие 1-го рода);

    2)  (граничное условие 2-го рода);

где  - внешняя нормаль к поверхности ; в частности, если поверхность  теплоизолирована, то

    3)  (граничное условие 3-го рода).

Здесь  - текущая точка поверхности .

     

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...