 |
Теория чисел. Геометрия. III ступень обучения ( 10-11 классы). Тригонометрия. Алгебра. Основы анализа
|
|
|
|
Теория чисел
О формулах, задающих простые числа. Простые числа в арифметических прогрессиях.
Арифметика остатков (повторение). Сравнения по модулю, классы вычетов. Малая теорема Ферма. Приложение сравнений к решению уравнения 
в целых числах. Китайская теорема об остатках. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Теорема Вильсона.
Квадратические и степенные вычеты. Теорема взаимности.
Пифагоровы числа. О большой теореме Ферма.
Геометрия
Повторение ключевых теорем, изученных в 8 классе. Теорема синусов. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.
Векторы и действия над ними. Координаты вектора. Векторная теория отношений и инцидентности. Теоремы Менелая и Чевы. Скалярное произведение векторов, угол между векторами. Теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.
Метод координат. Расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении. Уравнение прямой и окружности. Взаимное расположение прямых и окружностей на координатной плоскости. Задача Аполлония. Кривые второго порядка и их свойства. Другие замечательные кривые. Полярная система координат.
Правильные многоугольники. Их свойства и построение. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Реализация единого алгебраического подхода к решению геометрических задач. Применение комплексных чисел к задачам планиметрии.
Движения плоскости. Классификация движений. Понятие о группе движений. Группа симметрий плоской фигуры. Группы подстановок. Преобразования подобия, гомотетия. Понятие об аффинных преобразованиях. Что такое инвариант преобразования?
III ступень обучения ( 10-11 классы)
|
|
|
Тригонометрия
Тригонометрические функции произвольного аргумента. Основные соотношения. Знаки тригонометрических функций по четвертям. Формулы приведения. Основные тригонометрические формулы. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства. Более «продвинутые» тригонометрические соотношения.
Алгебра
Алгебраические уравнения (повторение). Рациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Иррациональные уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства с модулем. Показательные уравнения и неравенства. Логарифмы и их свойства. Логарифмические уравнения и неравенства.
Смешанные уравнения и неравенства. Нестандартные уравнения и неравенства. Метод мажорант. Уравнения и неравенства, содержащие параметр.
Текстовые задачи. Задачи на движение. Задачи на совместную работу. Смеси, растворы, сплавы. Проценты. Целые числа и оптимизация.
Основы анализа
Основные элементарные функции, их свойства и графики. Исследование функций и построение их графиков без помощи производной.
Предел последовательности. Основные свойства пределов. Монотонные последовательности. Предел функции. Основные приемы вычисления пределов. Первый и второй замечательный пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Асимптоты графика функции. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Больцано-Коши. Метод половинного деления.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Исследование функции с помощью производной. Общая схема исследования функции. Кривые второго порядка (повторение). Исследование кривых и поверхностей.
Приближенные вычисления с помощью производной. Применение производной к решению уравнений и доказательству неравенств. Пределы при итерации, итерационные вычислительные процессы. Уравнение Кеплера.
|
|
|
Максимумы и минимумы (повторение). Нахождение наибольших и наименьших значений функции с помощью производной. Принцип Ферма, ход световых лучей. Экстремальное свойство касательных к эллипсу и гиперболе. Расстояния от точки до данной кривой. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи. Функции нескольких переменных, частные производные. Метод Лагранжа. Линейное и выпуклое программирование. Треугольник Шварца. Задача Штейнера. Изопериметрическая задача. Опыты с мыльными пленками. Задача о брахистохроне.
Исчисление бесконечно малых (вычисления при помощи бесконечных сумм).
Интегралы. Формула Ньютона-Лейбница. Некоторые приемы вычисления интегралов. Вычисления величин в геометрии и физике при помощи интегралов.
Бесконечные ряды и бесконечные произведения. Применение степенных рядов при различных вычислениях.
|
|
|
