Математическая основа построения карт

Чтобы правильно и полноценно использовать карты в качестве измерительных документов, необходимо хорошо уяснить их гео­метрическую сущность и математические принципы их построения.

Геометрическая сущность картографического изображения. Геометрия картографического изображения связана с пред­ставлением о фигуре Земли - ее геометрической форме и раз­мерах.

Географическое положение точек на земной поверхности опре­деляется, как известно, их координатами. Поэтому математическая задача построения картографического изображения заключается в том, чтобы спроектировать и изобразить шарообразную поверх­ность Земли на плоскости (карте), строго соблюдая при этом од­нозначное соответствие между координатами точек на земной по­верхности и координатами их изображения на карте.

Такое проектирование сопряжено с необходимостью отнесения результатов полевых геодезических измерений при их вычисли­тельной обработке и отображении па картах к определенной, хо­рошо изученной в геометрическом отношении поверхности, которая наиболее близко подходит по своей форме и размерам к реальной фигуре Земли, но более проста по сравнению с нею.

Под фигурой Земли понимают математическую фигуру, ограниченную поверхностью среднего уровня Мирового океана в спокойном его состоянии, мысленно продолженную под всеми континентами. Эта воображаемая поверхность, перпендикуляр­ная в любой ее точке к направлению отвесной линии (на­правлению силы тяжести), называется основной уровенной поверхностью, а фигура Земли, образованная ею, - геоидом (от греческого: г е - Земля, о й д о с - вид, то есть фигура, имеющая вид Земли).

Геоид, как показали исследования, имеет всюду выпуклую, но асимметричную, сложную и неправильную в геометрическом отно­шении фигуру (Рис. 17 и 18), которая, однако, весьма мало отлича­ется от эллипсоида вращения, т. е. правильного геометрического тела, образуемого вращением эллипса вокруг его малой оси. По­этому при геодезических измерениях и составлении карт фигуру Земли и принимают за такой эллипсоид.

Эллипсоид вращения, поверхность которого наиболее близка к поверхности геоида, называют земным эллипсоидом, или земным сфероидом.

Рис. 17. Фигура Земли: геоид и земной эллипсоид (сфероид)

На картах эту поверхность представляет сетка географических меридианов и параллелей земного эллипсоида. Такая сетка на картах называется картографической сеткой.

Рис 18. Физическая и математическая поверхность Земли

При состав­лении карты прежде строят картографическую сетку, а затем, пользуясь ею как канвой, наносят по материалам топографической съемки, аэроснимкам и другим материалам изображение всех объектов, которые должны быть показаны на карте. Отступления по высоте точек земного эллипсоида от поверхности геоида достигают в среднем 50м и не превышают 150м.

Картографические сетки рассчитываются и строятся на картах по тем или иным математическим формулам, выражающим определенную для данной карты зависимость между географическими координатами точек на поверхности земного эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами соответствующих им точек на карте.

Таким образом, нанесение на карту изображения земной по­верхности представляет собой процесс двойного проектирования, включающий одновременно переход от действительных очертаний изображаемых объектов к их горизонтальным проложе­ниям на поверхности земного эллипсоида (горизонтальной проекцией, какой-либо точки, линии или фигуры на математической поверхности Земли называется их изображение, спроектированное на эту поверхность по перпендикулярам к ней). Таким образом, проектирование физической поверхности Земли на эллипсоид по нормалям (пер­пендикулярам) к его поверхности (рис. 19), и изображение на пло­скости - карте, этих горизонтальных проложений в задан­ном масштабе и по определенным для данной карты математиче­ским правилам.

Рис. 19 Горизонтальные проложения точки и различного вида линий