 |
Приближенное значение величины и погрешности приближений.
|
|
|
|
На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.
Тот факт, что а' есть приближенное значение числа а, записывается следующим образом:
а ≈ а'.
Если а' есть приближенное значение величины а, то разность Δ = а — а' называется погрешностью приближения *.
* Δ — греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).
Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,8 = —0,044.
На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ, а абсолютной величиной этой погрешности | Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью. Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
| Δ | = | — 0,044| =0,044, а для второго | Δ | = |0,056| = 0,056.
Число а' называется приближенным значением числа а с точностью до ε, если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε:
|
|
|
| а — а' | < ε.
Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 — 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Аналогично, — 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа — 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку
Если а' < а, то а' называется приближенным значением числа а с недостатком.
Если же а' > а, то а' называется приближенным значением числа а с избытком.
Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а — 3/2 есть приближенное значение числа — 8/5 c избытком, так как — 3/2 > — 8/5.
Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а' и b', то результат а' + b' будет приближенным значением суммы а + b. Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:
| а + b | < | a | + | b |.
Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.
. ПОГРЕШНОСТИ
Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Пример. | 1 — 20 | < | 1 | + | —20|.
Действительно,
|1 — 20| = |—19| = 19,
|1| + | — 20| = 1 + 20 = 21,
19 < 21.
Контрольные вопросы
1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?
2. С какой точностью показывают время часы?
3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?
4. а) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?
б) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?
|
|
|
в) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?
5. Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?
6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?
Когда в этих формулах имеет место знак равенства?
Комплексные числа
Комплексным числом Z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:
Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда 
, т. е. i 2 = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.
Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число 
называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.
По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) +...+ (an + bni) = (a 1 + a 2 +...+ an) + (b 1+ b 2+...+ b n) i = a + bi
Операция введена, так как получили элемент того же множества.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) определяется из условия:
(x + iy) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i).
Из правила сложения получаем:
x + a 2 = a 1,
y + b 2 = b 1.
То есть x = a 1 – a 2, y = b 1 – b 2 и разность
(a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 – a 2) + (b 1 – b 2) i.
|
|
|
