Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a ₁ + b ₁ i) (a ₂ + b ₂ i) = x + iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

Распишем: ,

Окончательно получим:

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .

Деление комплексных чисел

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a ₁ + b ₁ i) на другое комплексное число (a ₂ + b ₂ i), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.

Возведение в степень комплексных чисел

Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме.

1. ,

2. .

Для возведения комплексного числа в степень нужно модуль возвысить в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Извлечение корня

Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства следует равенство .

Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное ; . Отсюда , . Здесь есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула
.

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, …, n - 1.

Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы и отличаются на величину, не кратную , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную . Поэтому разность

не может быть кратна . Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k ₃– целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k. Это число можно представить в виде k ₃= gn + k_i, где g – целое число, а k_i – одно из чисел этого ряда, поэтому , то есть значению k ₃ соответствует то же значение корня, что и значению k_i.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

Пример 1. Решить уравнения а) x ² + 25 = 0, б) x ³ + 27 =0.

Решение. а) , то есть первое уравнение имеет два мнимых корня: x ₁ = 5 i, x ₂ = -5 i;

б) воспользуемся формулой x ³ + a ³ = (x + a) (x ² - ax + a ²), x ³ + 27 = (x +3) (x ² - 3 x + 9). Приравнивая нулю каждый из множителей, получаем один корень действительный и два комплексных:

;

x ₂ и x ₃– сопряжённые комплексные числа.

Пример 2. Вычислить, изобразить на плоскости, записать в тригонометрической и показательной форме:
а) ; б) (i) ⁱ.

Решение. а) Сначала запишем числа в алгебраической форме, выполнив

операцию деления. Домножим на сопряжённое число, и, учитывая, что i ² = -1, получим:

= - 3 - 3i;

х = Re z = - 3, у = Jm z = - 3, что соответствует точке на плоскости (- 3, - 3) (см рис.3).

Модуль комплексного числа:

Так как точка находится в третьей четверти, то аргумент комплексного числа будет:

Записываем тригонометрическую и показательную формы комплексного числа:

б) z = i ⁱ, i = 0 + 1 · i, х = Re z = 0, у = Jm z = 1,

– действительное число (точка на оси ох) (см. рис. 4).

Пример 3. Вычислить .

Решение. Представим число в тригонометрической (или показательной) форме, для чего найдём его модуль и аргумент:

- 1 = - 1 + 0 · i, х = - 1, у = 0,

, k = 0, 1, 2.

k = 0, ;

k = 1,

k = 2, .

Упражнения для самостоятельной работы

Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

1. (3 + 5i) + (7 – 2i).
2. (6 + 2i) + (5 + 3i).
3. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4. (5 – 4i) + (6 + 2i).
5. (3 – 2i) + (5 + i).
6. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
7. (– 5 + 2 i) + (5 + 2 i).
8. (– 3 – 5 i) + (7 – 2 i).

Произведите умножение и деление комплексных чисел:

1. (2 + 3i);(5 – 7i).
2. (6 + 4i);(5 + 2i).
3. (3 – 2i);(7 – i).
4. (– 2 + 3i);(3 + 5i).
5. (1 –i);(1 + i).
6. (3 + 2i);(1 + i).
7. (6 + 4i);3i.
8. (2 – 3i); (– 5i).

Решите уравнения:

1) x ² – 4 x + 13 = 0.
2) x ² + 3 x + 4 = 0.
3) 2,5 x ² + x + 1 = 0.
4 4 x ² – 20 x + 26 = 0.

Список литературы

1. Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2013.

2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2014.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2014.

4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 2014.

5. Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 194.

6. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2013.

7. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2013.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

«Корни, степени и логарифмы»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Корни, степени и логарифмы».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Корни, степени и логарифмы», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

При выполнении заданий по данной теме вы должны помнить:
1. Определения степени: где m – целое число, а n – натуральное.

2. Свойства степени:
1) a⁰=1;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
3. Определение корня: .
4. Арифметический корень: .
5. Свойства корней:

1) ;
2) ;
3) ;
4) , где m, n – натуральные числа.

5) .

6. Формулы сокращённого умножения:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²;
3) a² – b² = (a + b) ∙ (a – b);
4) a³ + b³ = (a + b) ∙ (a² – ab + b²);
5) a³ – b³ = (a – b) ∙ (a² + ab + b²);
6) (a + b)³ = a³ + 3a2b + 3ab² + b³;
7) (a – b)³ = a³ – 3a2b + 3ab² – b³.

7. Определение логарифма: log_ab=x a^x=b, a>0, a 1, b>0.
8. Основное логарифмическое тождество: a^log_a^b=b.
9. Десятичный логарифм (по основанию 10): lgb:10^lgb=b.
10. Натуральный логарифм (по основанию e): lnb:e^lnb=b.
11. Свойства логарифмов:

1) log_a1=0;
2) log_aa=1;
3) log_a(x∙y)=log_ax+log_ay;
4) log_a =;log_ax-log_ay;
5) log_ax^p= p∙log_ax;
6) – переход к новому основанию;
7) .

Базовый уровень

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 2,5.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: 15.

Пример. Вычислить: .
Решение:
.
Ответ: 40.

Пример. Сравнить числа и .
Решение:
Преобразуем данные числа так, чтобы степени корня в них были равны.
.
Делаем вывод, что данные числа равны.
Ответ: .

Пример. Выразите величину р из равенства .
Решение:
.
Ответ: .

Пример. Определите знак разности .
Решение:
Так как

Ответ: Разность отрицательна.

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 1.

Повышенный уровень

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 2.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: 6.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: – 33.

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: – 10.

Пример. Выделить полный квадрат 3у² + 6у – 8.
Решение:
3у² + 6у – 8 = 3(у² + 2у) – 8 = 3(у² + 2у + 1) – 3 – 8 = 3(у + 1)² – 11.
Ответ: 3(у + 1)² – 11.

Пример. Упростить .
Решение:
.
Ответ: .

Пример. Упростите выражение и найдите его значение при .
Решение:
.
При а² =3.
Ответ: а²; 3.

Пример. Сократить дробь .
Решение:

Полезно помнить, что если х₁ и х₂ – корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, где а ≠ 0, то его можно разложить на множители: ax² + bx + c = а(х – х₁) ∙ (х – х₂).
Ответ: .

Пример. Упростить если m<0.
Решение:
.
Ответ: 1.

Пример. Вычислить , если log_ba=2.
Решение:

Ответ: – 5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Базовый уровень

1) Вычислите .
2) Вычислите .
3) Вычислить без калькулятора .
4) Найдите значение выражения (10^–10 ∙ 100⁶)^–1.
5) Упростите выражение .
6) Найдите значение выражения .
7) Найдите значение выражения .
8) Вычислите .
9) Упростите выражение .
10) Вычислить .
11) Выполните действия .
12) Упростите выражение .