 |
Основные тригонометрические формулы
|
|
|
|
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть a° - градусная мера угла, b - радианная, тогда справедливы формулы:
| 
|
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента.
| 1. | 
| 4. | 
|
| 2. | 
| 5. | 
|
| 3. | 
| 6. | 
|
Формулы сложения.
|
|
|
Формулы двойных и половинных углов.
| 1. | 
| 5. | 
|
| 2. | 
| 6. | 
|
| 3. | 
| 7. | 
|
| 4. | 
| 8. | 
|
Формулы преобразования суммы в произведение.
|
|
| |
| 
|
| 
|
Формулы преобразования произведения в сумму.
|
|
|
Формулы приведения.
| j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
 j
| - a
|  a
| a
| a
| - a
| - a
| - a
| - a
| a
|
| j
| a
| a
| - a
| - a
| - a
| - a
| a
| a
| a
|
 j
| - a
|  a
| - a
| - a
| a
| a
| - a
| - a
| a
|
| j
| - a
| a
| - a
| - a
| a
| a
| - a
| - a
| a
|
Решение простейших тригонометрических уравнений
| Уравнение | Общее решение | Частные случаи | ||
| 
| 
| ||
 ,
| 
| 
|
| 
|
 ,
| 
|
| 
|
|
 ,
| 
| 
|
| 
|
 ,
| 
| 
|
|
|
Для решения простейших тригонометрических неравенств 
, 
, 
, 
(вместо знака 
могут стоять 
, 
, 
) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой 
, расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.
Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений. Графики и основные свойства тригонометрических функций.
|
|  для 
| ||
 для 
| |||
 для 
| |||
 для 
| |||
| | |||
|
| для
| ||
| для
| |||
| для
| |||
| для
| |||
| | |||
|
| для 
| ||
 для 
| |||
для 
| |||
| | |||
|
| для 
| ||
| для
| |||
| для
| |||
|
| |||
, 
, 
, период 
, нечетная
, 
, 
, период 
, нечетная
, 
, Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций.
|
| для 
|
для 
| |
для 
| |
| Функция нечетная | |
| | |
|
| для
|
| для
| |
для 
| |
| Функция ни четная, ни нечетная | |
| | |
|
| для 
|
для 
| |
для 
| |
| Функция нечетная | |
| | |
|
| для
|
| для
| |
| для
| |
| Функция ни четная, ни нечетная | |
| | |
, 
, 
, непериодическая функция
, 
, непериодическая функция
, 
, непериодическая функция
, 
, непериодическая функция
Примеры решения задач.
1. 
Найти значение следующих тригонометрических выражений:
, 
, если 
.
Решение. Выпишем формулы для нахождения , :
, 
, 
.
.
Из основного тригонометрического тождества найдем 
:
Далее найдем значения искомых выражений:
Ответ: 
, 
, 
2. Доказать тождество:
Решение. Приведем левую часть к 1:
.
Тождество доказано.
3. Вычислить значение выражения:
Решение. Используя формулы приведения, получим:
Итак, значение выражения 0.
Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.
1. Уравнения, однородные относительно 
и 
.
Каждое из уравнений:
,
и т.д.
называется однородным относительно и . Сумма показателей степеней у и во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на 
, 
степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно 
.
Разделив, например, уравнение на 
, получим уравнение:
.
При 
эти уравнения эквивалентны, так как если 
, то из первого уравнения получим, что и 
, что невозможно ( и при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим , решая квадратное уравнение относительно , а по значениям - соответствующие значения 
.
|
|
|
4. Решить уравнение:
Решение. Заменяя 
и 
, получим однородное уравнение: 
,
Или 
.
Деля на ( 
), получим:
.
Вводим новую переменную 
и получаем квадратное уравнение относительно нее:
.
Корни этого уравнения: 
. Далее получаем равносильную совокупность уравнений:
2. Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.
Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду 
.
Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.
5. Решить уравнение:
.
Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:
или 
.
Разность косинусов преобразуем в произведение 
, которое равносильно совокупности уравнений:
3. Уравнения вида 
.
Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки 
, воспользовавшись формулами, выражающими и через 
:
и 
.
Исходное уравнение сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого нами было рассмотрено ранее.
Такие уравнения рациональнее решать введением вспомогательного угла: 
. Рассмотрим дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой части:
.
Введем обозначения:
и 
.
Заметим, что выражение в скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:
.
Таким образом, исходное уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому уравнению:
, или 
,
решение которого, суть
, 
.
Задача решена в общем виде.
|
|
|
6. Решить уравнение:
.
Решение. (первый способ) Заменив и через , получим:
.
Введем новую переменную: и получим эквивалентное квадратное уравнение относительно 
:
,
у которого дискриминант равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень 
. Задача свелась к решению уравнения:
; 
; 
, .
Решение. (второй способ). Введем вспомогательный угол: 
.
Тогда решение исходного уравнения сразу запишется в виде:
= 
, .
Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно.
|
|
|
